Площа ромба дорівнює 48 см2, а одна із його діагоналей – 8 см. Знайти другу діагональ і його сторону.​

По свойству биссектрисы 
AR/AB = RC/BC 
AR/AB = (AC - AR)/BC 
AR = 35/11; RC = 42/11 
AP/AC = (AB - AP)/BC 
AP = 35/13; BP = AB - AP = 30/13 
BQ/AB = (BC - BQ)/AC 
BQ = 5/2; QC = BC - BQ = 7/2 
S = S(ABC) = 6√6 (по формуле Герона) 
S(PQR) = S - S(APR) - S(PBQ) - S(RQC) 
S(ABC)/S(APR) = (AB·AC)/(AP·AR) (если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы) 
S(APR) = S(ABC)·AP·AR/(AB·AC) = S·35/143 
аналогично находятся S(RQC) = S·7/22 и S(PBQ) = S·5/26 
S(PQR) = (210√6)/143

В правильном шестиугольнике все стороны равны АВ=ВС=СD=DE=EF=1. а также все углы равны 120°.
Получается треугольник АВС - равнобедренный АВ=ВС и углы при основании равны <ВАС=<ВСА=(180-<АВС)/2=(180-120)/2=30°.
Опустим в треугольнике АВС высоту ВН, она же будет и высотой, и медианой. Центр вписанной окружности будет лежать на ВН.
Из прямоугольного треугольника АВН высота ВН=АВ/2=1/2=0,5 (катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы).
Тогда АН=√(АВ²-ВН²)=√(1-0,25)=√0,75=√3/2, значит сторона АС=2АН=√3.
Полупериметр треугольника АВС р=(2АВ+АС)/2=1+√3/2
Радиус вписанной окружности R
R²=(р-АВ)²(р-АС)/р=(1+√3/2-1)²(1+√3/2-√3) / (1+√3/2)=3/4*(1-√3/2) / (1+√3/2)
R=√(3/4*(1-√3/2) / (1+√3/2))=√3/2*√(1-√3/2)(1+√3/2) / (1+√3/2)²=√3/2(1+√3/2) * √(1-3/4)=√3 / (4+2√3)