В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке АВС ме­ди­а­ны пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки О до сто­ро­ны АС, Если АВ=ВС=15, АС=18. Опи­ши­те пол­ное ре­ше­ние за­да­чи. При­кре­пи­те фото ре­ше­ния.​

Ну очень сложно : смотрите, если радиус ВПИСАННОЙ в равносторонний треугольник окружности r, то высота 3*r, а это - сторона правильного шестиугольника. Правильный шестиугольник как-бы составлен из 6 равносторонних треугольников со стороной 3*r (ну, типа лепестков ромашки, 6 треугольников с общей вершиной), и их высоты как раз и будут искомым радиусом, то есть 3*r*корень(3)/2 (ну, найти высоту равностороннего треугольника по заданной стороне - это не трудно :)).

Итак, ответ 3*(4*корень(3))*корень(3)/2 = 18.

Если рассмотреть ЛЮБОЙ треугольник, образованный высотой пирамиды, боковым ребром и его проекцией на плоскость основания, то легко видеть, что ВСЕ эти треугольники равны между собой (по катету  - у них общий катет - высота пирамиды, и острому углу - углу наклона бокового ребра).

Отсюда сразу следует, что

1. Все боковые ребра равны. 

2. Все проекции боковых ребер равны. 

3. вершина пирамиды равноудалена от вершин многоугольника в основании.

Это и означает, что в основании ОБЯЗАТЕЛЬНО лежит многоугольник, вокруг которого МОЖНО описать окружность, и вершина пирамиды проектируется в центр этой окружности.