Периметр треугольника AOR равен 30 см, периметр четырёхугольника AORF равен 32 см. При этом ∠RAF = ∠ORA, OR = AF. Найти AR

В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой, все углы равны  60°. а биссектриса является и медианой и высотой. Поэтому она делит такой треугольник на два равных прямоугольных. 

Примем сторону треугольника равной а. Тогда высота - один катет, половина стороны - другой катет, сторона - гипотенуза. 

По т.Пифагора а²=(a/2)²+h²

откуда а²=4h²/3

Заменив в этом выражение h на 12√3, получим

а²=4•12*•3/3=4•12², откуда 

а=√(4•12*)=2•12=24 (ед. длины)

-----------------

Короткое решение:

Биссектриса (медиана,  высота) равностороннего треугольника h=а•sin60°, откуда 

a=h:sin60°

a=12√3:(√3/2)=24

Решение:
1) Пусть в одной части х° , тогда величина  первого  угла  равна х°,  второго  - (2х)°, третьего - (3х)°.
Зная, что сумма углов треугольника равна 180°, составим уравнение:
х + 2х + 3х = 180
6х = 180
х = 180 : 6
х = 30
∠1 = 30°, ∠2 = 60°, ∠3 = 90°.
2) В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30°  по теореме лежит катет, равный половине гипотенузы. В нашем треугольнике меньшей стороной, длина которой равна 4 см, как раз и является катет, лежащий напротив угла в 30°. Делаем вывод о том, что большая сторона, которой является гипотенуза , будет равна 4 см·2 = 8 см.
ответ: 8 см.