2. Точки O (0; 0), A (2; 5), B (14; 7) и C являются вершинами параллелограмма. Найдите абсциссу точки нужно

С (12 ; 2)

Объяснение:

1. AN = AB^2/AM = 3; MN = 2; => OB = 1;

=> угол BAO = 30 градусов; BH = AB*sin(30) = корень(3)/2;

2. О - центр правильного шестиугольника.

ОС = ОD = CD = OA; => OK = KD; => AK/KD = 3;

3. вот тут есть кое-что интересное. Построение такое - проводим ВР II CD, Р лежит на MN. Проводим PK II BA, K лежит на AD. Ясно, что PN = BC; => MP = (AD - BC)/2 = AK; 

Трапеция KPND равна трапеции MBCN, то есть её площадь составляет 3/5 площади AMNP. Площадь параллелограмма AMPK, соответственно, составляет 2/5 от площади AMNP. Поскольку у этих фигур общая высота, отношение их площадей равно отношению средних линий.

Обдумайте это внимательно - речь идет о средних линиях параллелограмма (а параллелограмм - частный случай трапеции :)) AMPK, равной АК = МР = (AD - BC)/2; и средней линии трапеции KPND, то есть - трапеции MBCN, равной ((AD + BC)/2 + BC)/2 = (AD/4 + 3*BC/4); 

(Я вынужден сделать замечание. Условие MN = 10 я намеренно не использую, хотя отлично вижу, что тут можно было бы подставить это значение.)

Итак, получилось (AD/2 + 3*BC/2)/(AD - BC) = 3/2; обозначим AD/BC = x;

(x/2 + 3/2)/(x - 1) = 3/2; x = 3;

Условие MN = 10 позволяет найти основания, равные 5 и 15.

 №1.
Основание правильной четырёхугольной пирамиды - квадрат, боковые грани - равнобедренные треугольники, вершина пирамиды проецируется в точку пересечения диагоналей. 

Обозначим пирамиду МАВСD, МО - высота, МН - апофема ( высота боковой грани). 

Апофема делит сторону основания пополам. ВН=СН. 

Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и при пересечении делятся пополам. 

∆ ВОС в основании - прямоугольный равнобедренный. 

МН⊥ВС. ⇒ по т. о 3-х перпендикулярах ОН ⊥ ВС, ⇒ ОН — высота и медиана ∆ ВОС. По свойству медианы ОН=BH=CH.

ОН=√(МН²-МО²)=√(225-144)=√81=9

BH=OH=9 

MB=√(MH²+BH²)=√(225+81)=√306=3√34

№2

Если боковые ребра пирамиды равны, то равны и их проекции. Тогда проекции боковых ребер равны радиусу описанной около основания окружности. Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине гипотенузы ( значит, равен и медиане). 

 Гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см равна 10 см (египетский треугольник). 

Тогда высота  МН ( и медиана ) ∆ АМВ=АВ=10 см. ВН=АН=5 см 

АМ= √(MH²+AH²)=√(100+25)=5√5 см

№3. 

В основании пирамиды равнобедренный прямоугольный треугольник АВС, угол С=90°, АС=ВС=6 см. Высота пирамиды - третье из смежных ребер=8 см. 

Площадь полной поверхности - сумма площади основания и площадей боковых граней. 

S осн=АС•BC:2=18 см²

Грани АМС=ВМС по равенству катетов. 

S ∆ AMC=S ∆ BMC=6•8:2=24 см²

S AMB=MH•AB:2

AB=AC:sin45°=6√2 

CH высота и медиана ∆ АСВ=АВ:2=3√2

Высота MH большей боковой грани S=√(CH*+MH*)=√(18+64)=√82

S∆AMB=6√2•√82=6√164=12√41

S полн=18+2•24+12√41=(66+12√41) см²

№4

S полн=Sбок+Sосн

Боковые грани этой правильной пирамиды равны. Обозначим её МАВС.

МН- высота и медиана боковой грани. АН=ВН=6 см

∆ АМВ - равнобедренный. Апофема МН=√( АМ²-АН²)=√64=8 см

Sбок=3•МН•АВ:2=144 см²

Sосн=АВ²•√3:4=36√3 см²

Sполн=144+36√3=36(4+√3) см² 

№5

Параллелепипед прямоугольный, следовательно, основание  и боковые грани прямоугольники, а ребра перпендикулярны основанию и являются высотами параллелепипеда.

Обозначим большую сторону основания АВ, меньшую - ВС, высоту АА1. 

 Угол А1ВА=60° (дано)

А1А=АВ•tg60°=5√3 

Площадь основания АВ•BC=5•3=15 Оснований два. S=2•15=30 см²

Площадь боковой пов-сти АА1•2(AB+BC)=5√3•16=80√3 см²

Sполн=(30+80√3) см²