1) Длина одного отрезка на 1 см больше второго и на 4 см больше третьего. Могут ли эти отрезки быть сторонами треугольника, периметр которого равен 10 см?

Дано: ΔABC - равнобедренный, АВ=ВС, Sabc= 192 см², АС=АВ+4, окружность, впис. в ΔАВС, OR - радиус, OR= 6 см

Найти: АВ, ВС, АС.

Решение.

Пусть АВ=ВС= х см. По условию основание на 4 см больше, чем боковая сторона, значит, АС= х+4.

Площадь треугольника равна произведению полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

S= p•r, где S - площадь треугольника, p - его полупериметр, r - радиус вписанной окружности.

Находим периметр ΔАВС.

Р= АВ+ВС+АС= х+х+х+4= 3х+4.

Полупериметр равен соответственно р= (3х+4)/2.

S= p•r;

192= (3x+4)/2 •6;

192= (3х+4)•3;

192= 9х+12;

9х= 192–12;

9х= 180;

х= 20 (см)

Значит, АВ=ВС= 20 см, АС= х+4= 20+4= 24 см.

ответ: 20 см, 20 см, 24 см.

Рисунок фактически здесь вообще не нужен, однако, если Вам так легче это представить...

В равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна 13 и основание 24, вписана окружность. К ней проведена касательная, параллельная основанию. Найдите длину отрезка касательной, ограниченного точками пересечения с боковыми сторонами. (Указание. Докажите подобие треугольников).

Объяснение:

ΔАВС, АВ=АС=13, ВС=24. Отрезок ЕР-отрезкок касательной, ограниченный  точками пересечения с боковыми сторонами АВ и АС, ЕР║ВС.

Точки касания расположены В-М-А, С-К-А , В-Н-С.

ΔАЕР подобен ΔАВС по двум углам : ∠А-общий, ∠АЕР=∠АВС как соответственные при ЕР║ВС, АВ-секущая. Отношение периметров равно к . Р(АВС)=26+24=50.

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис , а в равнобедренном треугольнике биссектриса АН совпадает с высотой и медианой. Значит  ВН=НС=24:2=12 .

АМ=АВ-МВ=АВ-ВН=13-12=1 ⇒ АК=1, тк. треугольник равнобедренный.

По свойству отрезков касательных ЕХ=ЕМ  и РХ=РК ⇒Р(АЕР)=2.

к=2/50=1/25.

Тогда ЕР/ВС=1/25 или ЕР=24/25=0,96