1. АС – касательная к окружности. Вычислите градусную меру угла АВО, если ∠ВАС=67°

Мартин Бехайм 1459 жылдың 6 қазан айында Нюрнберг қаласында, дәулетті отбасында дүниеге келген. Оның әкесі Венеция тауар әкелетін саудагер және қалалық сенат төрағасы еді. Мартин бала кезінен әкесіне көмектесетін, ал әкесі қайтыс болғаннан кейін 1474 жылы ол ағалары Леонардо және Йориус ван Дорппен Мехеленнен мата әкеліп Франкфуртте сатады.

1478 жылы Антверпен қаласына көшіп келеді. Осы қаладағы шеберханада ол арифметиканы үйренеді. 1484 жылы Бехайм алғаш рет Лиссабон қаласында болды. 1490 жылы Бехайм сауда жағдайына байланысты Нюрнберг қаласына қайта оралады. Сонымен қатар ол бұл қаладан анасының қалдырған мұрасын таппақ болады. Осы жерде ол Хольцшуэр деген азамат оған глобус жасауға ұсыныс жасайды. Мартин оған келіседі. Міне, олар осылай глобус жасауға кіріседі. 1492 жылы глобус дайын болады. Глобустың диаметрі 507 миллиметр, бірақ онда көлденеңі жоқ еді. Бірақ глобуста экватор сызығы, меридиандар, тропиктер көрсетілген еді.

Сонымен қатар глобуста әр түрлі елдер және олардың тұрғындарының суреттері бар еді. 1493 жылы Мартин Бехайм Португалияға барады. Содан соң ол Файал аралында сауда жасайды. 1507 жылы ол Лиссабонға келеді.

1507 жылдың 29 шілдесінде Мартин Бехайм қайтыс болады.

1-ый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними (Теорема 3.1. – Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними - Если две стороны и угло между ними одного треугольнгрка равны соотвественно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны)

Доказательство:

Пусть у треугольников АВС и А1В1С1 угол А равен углу А1, АВ равно А1В1, АС равно А1С1, докажем, что треугольники равны.

Пусть А1В2С2 – треугольник, равный АВС, с вершины В2 на луче А1В1 и вершины С2 в той же полуплоскости относительно прямой А1В1, где лежит вершина С1.

Так как А1В1 равно А1В2, то вершина В2 совпадет с В1. Так как угол В1А1С1 равен углу В2А1С2, то луч А1С2 совпадет с А1С1. Так как А1С1 равен А1С2, то С2 совпадет с С1. Значит треугольник А1В1С1 совпадает стреугольниом А1В2С2, значит равен треугльнику АВС.

Теорема доказана.

2-ой признак равенства треугольников: по стороне и прилежим к ней углам (Теорема 3.2. - Признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам - Если сторона и прилежащие у ней углы одного треугольника равны соотвественно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны)

Доказательство:

Пусть АВС и А1В1С1 – два треугольника, у которых АВ равно А1В1, угол А равен углу А1, и угол В равен углу В1. Докажем, что они равны.

Пусть А1В2С2 – треугольник, равный АВС, с вершины В2 на луче А1В1 и вершины С2 в той же полуплоскости относительно прямой А1В1, где лежит вершина С1.

Так как А1В2 равно А1В1, то вершина В2 совпадет с В1. Так как угол В1А1С2 равен углу В1А1С1, и угол А1В1С2 равен углу А1В1С1, то луч А1С2 совпадет с А1С1, а В1С2 совпадет с В1С1. Отсюда следует, что вершина С2 совпадет с С1. Значит треугольник А1В1С1 совпадает стреугольниом А1В2С2, значит равен треугльнику АВС.

Теорема доказана.

3-ий признак равенства треугольников: по трем сторонам ( Теорема 3.6. - Признак равенства треугольников по трем сторонам - Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны)

Доказательство:

Пусть АВС и А1В1С1 – два треугольника, у которых АВ равно А1В1, АС равно А1С1, и ВС равно В1С1. Докажем, что они равны.

Допустим, треугольники не равны. Тогда у них угол А не равен углу А1, угол В не равен углу В1, и угол С не равен углу С1. Иначе они были бы равны, по перовому признаку.

Пусть А1В1С2 – треугольник, равный треугольнику АВС, у которого Свершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой А1В1.

Пусть D – середина отрезка С1С2. Треугольники А1С1С2 и В1С1С2 – равнобедренные с общим основанием С1С2. Поэтому их медианы А1D и В1D – являются высотами, значит прямые А1D и В1D – перпендикулярны прямой С1С2. Прямые А1D и В1D не совпадают, так как точки А1, В1, D не лежат на одной прямой, но через точку D прямой С1С2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию.