Найдите радиусы двух касающихся окружностей если они пропорциональны числам 6 и 4 а расстояние между центрами окружностей равно 20см Расмотрите два варианта

Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 3, высота самой пирамиды – √3 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 3, высота самой пирамиды – √3 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Определение: 

Правильная треугольная пирамида - это пирамида, основанием которой является правильный треугольник, все боковые грани равнобедренные треугольники,  а вершина проецируется в центр основания.

Площадь полной поверхности равна сумме площади основания и площади боковой поверхности. 

Для решения нужно знать сторону основания и апофему ( высоту боковой грани). 

См. рисунок, данный в приложении. 

По условию АН=3 см, МО=√3 см

Центр основания пирамиды является центром вписнной в нее окружности с радиусом ОН. 

Радиус вписанной в правильный треугольник окружности равен 1/3 его высоты. 

r=ОН=1/3 АН=1 (см)

⊿ МНО прямоугольный, МH=√(MO² +OH² )=√4

МН=2 (см)

Все углы ∆ АВС=60°

ВС=АС=АВ=АН:sin 60°

BC=3•2:√3=2√3

По формуле площади правильного треугольника S=a²√3):4

S (осн)={(2√3)²•√3}:4=3√3 (см²)

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему

S (бок)=МН•(АВ+ВС+АС):2

S (бок)=2•3•(2√3):2=6√3 (см²)

S (полн)=3√3+6√3= 9√3≈15,588 см²

Треугольник АВС тупоугольный, равнобедренный. Значит большая сторона (АС) - основание, так как углы при основании равны, а в треугольнике не может быть двух тупых углов.
Проведем биссектрису АК и высоту АН  из угла А при основании треугольника. (проводить их из вершины тупого угла на основание нет смысла, поскольку высота и биссектриса в этом случае равны (равносторонний треугольник). Высота в нашем случае падает на продолжение противоположной боковой стороны ВС. Итак, имеем: <НАК =36°(дано), <АНС=90°, <КАС=0,5*<ВСА (АК-биссектриса <ВАС, а <ВАС=<ВСА=<C). <НАС+<НСА=90° (треугольник НАС - прямоугольный с <АНС=90°), <НАС=<НАК+<КАС. Тогда 36°+(<C/2)+<C =90°, откуда 1,5*<C=90°-36° и <С=36°. Угол В= 180°-2*36° = 108° 
ответ: Углы треугольника АВС = 36°, 108° и 36°.