4. Найдите углы треугольника, если внешний угол равен 135°, а два других, не смежных с ним относятся как 1:2. 5. На биссектрисе СД равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ отметили точку О.На отрезке АД точку Р, а на отрезке ВД точку К, причем ДР=ДК. Найдите угол РОК, если ∠АРО = 110°.

1. Угол АСВ=180°-135°=45°
2х+х+45°=180°
х=45°
Значит угол ВАС=45°,Угол АВС=90°
2.СД- биссектриса,но так как треугольник АВС-равнобедренный,то СД является также высотой и медианой. То есть АД=ДВ. По условию точка О принадлежит СД, а РД=ДВ,значит треугольник РОК-равнобедренный. Угол ОРК=180°-110°=70°
Угол РОК=180° -70° -70 ° =40°
ответ: 40 °

Даны стороны треугольника АВС: а=18, b=15 и с=12.
Найти длину биссектрисы угла А.
Решение.
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные сторонам угла.
То есть ВН/НС=12/15 = 4/5.  => ВН=8, НС=10.
<BAH=<CAH (АН - биссектриса).
Тогда по теореме косинусов:
Cos(A/2) =  (АН²+12² - 8²)/(2*АН*12) - из треугольника ВАН.  (1)
Cos(A/2) =  (АН²+15² - 10²)/2*АН*15) - из треугольника САН.  (2)
Приравняем (1) и (2):
(АН²+125)/30АН = (АН²+80)/24АН  =>  4(АН²+125)=5(АН²+80) =>
АН²=100.  АН=10.
ответ: биссектриса АН=10.

Проведем окружность с центром в точке В произвольного радиуса. Точки пересечения этой окружности со сторонами угла АВС обозначим E и F.

Проведем окружность с тем же радиусом с центром в точке D. L - точка пересечения окружности с лучом DK.

Проведем окружность с центром в точке Е и радиусом EF, и такую же окружность с центром в точке L. Р - одна из точек пересечения этой окружности с первой.

Затем построим такую же окружность с центром в точке Р. Обозначим точку ее пересечения с первой окружностью N.

Через точку N проведем луч DM.

Угол MDK - искомый.