Отрезки AD и BE пересекаются в точке С. Внешние углы треугольника АВС при вершинах А, В, и С относятся соответственно как 4:3:5. Длина отрезка АВ равняется 5 см, СD - 10 см, а DE и ВС перпендикулярны. Докажите равенство отрезков ВС и СЕ

1.
М - середина АВ, значит МВ = АВ/2
Р - середина МВ, значит РВ = МВ/2 = АВ/4

К - середина ВС, значит КС = ВС/2
Е - середина КС, значит ЕС = КС/2 = ВС/4

N - середина АС, значит NA = АС/2
G - середина NA, значит GA = NA/2 = AC/4

По условию
PB + EC + GA = 12
АВ/4 + ВС/4 + АС/4 = 12
1/4 · (АВ + ВС + АС) = 12
АВ + ВС + АС = 12 · 4 = 48 (см)

2.

Из решения первой задачи следует, что

АР = 3/4 АВ
ВЕ = 3/4 ВС
CG = 3/4 AC

По условию
AP + BE + CG = 108
3/4 АВ + 3/4 ВС + 3/4 АС = 108
3/4 · (АВ + ВС + АС) = 108
АВ + ВС + АС = 108 · 4/3 = 144 (см)

Треугольник может существовать, если сумма двух сторон больше третьей стороны.

Пусть стороны треугольника а, в, с, причем а=в.

1) если а=7, в=7, тогда с=3;  треугольник может существовать, т.к. 7+7>3;

если а=3, в=3, тогда с=7; треугольник существовать не может, т.к. 3+3<7.

2) если а=8, в=8, то с=2; треугольник может существовать, т.к. 8+8>2;

если а=2, в=2, тогда с=8; треугольник существовать не может, т.к. 2+2<8.

3) если а=10, в=10, тогда с=5;  треугольник может существовать, т.к. 10+10>5;

если а=5, в=5, тогда с=10; треугольник существовать не может, т.к. 5+5=10.