Биссектрисы углов B и C треугольника ABC пересекаются в точке K. Найдите < ВКС, если < В = 28˚, а < С = 84 ˚.

Тогда с теоремы о сумме углов треугольника:

∠A + ∠B + ∠C = 180˚ ⇒

∠A = 180˚ - ∠B - ∠C = 180˚ - 28˚ - 84˚ = 68˚.

Так, как BS и CR - биссектрисы, то они делят:

∠B и ∠C пополам, из этого:

∠SBC = =

∠RCB = =

Тогда, с теоремы, о сумме углов треугольника:

∠SBC + ∠RCB + ∠ВКС = 180˚ ⇒

∠ВКС = 180˚ - ∠SBC - ∠RCB =  180˚ - 14˚ - 42˚ = 124˚.

ответ: 124˚.

Рисунок:

Все рёбра треугольной пирамиды равны. Найти угол наклона:

а) Бокового ребра к плоскости основы.

б) боковой грани к площине основы/

Объяснение:

АВСМ -пирамида, пусть ребро равно х.

a)Угол наклона бокового ребра к плоскости основания это ∠МАО.

Т.к АВ=ВС=АС, то высота проецируется в центр основания О , точку пересечения медиан.Тогда АО=2/3*АН, где АН медиана, ВН=х/2 .

Из ΔАВН-прямоугольного, АН=√(х²-х²/4)=(х√3)/2. Тогда АО=( х√3)/3.

ΔАОМ-прямоугольный,  cos∠МАО=АО/АМ , cos∠МАО=( х√3)/3:х=√3/3,

∠МАО=arccos(√3/3) .

ОМ=√(х²-( х√3)/3)² )=(х√6)/3

б)В равностороннем ΔАВС , медиана АН является высотой . Тогда МН⊥ВС по т. о трех перпендикулярах и ∠АНМ-линейный угол между боковой гранью и плоскостью основания.

ОН=1/3*АН , ОН=(х√3)/6.

ΔОНМ-прямоугольный ,tg∠AHM=MO/OH , tg∠AHM=2√2 , ∠AHM=arctg(2√2).

1) Через пересекающиеся прямые  можно провести плоскость. ⇒ а и b лежат в одной плоскости. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. А1В1||А2В2.

∆ А1КВ1~А2КВ2, т.к. углы при пересечении параллельных оснований секущими а и b равны, и угол К - общий. 

Из подобия следует: КВ1:КВ2=А1В1:А2В2=3/4

Примем В1В2=х, тогда КВ2=14+х 

 14:(14+х)=3:4

56=42+3х ⇒ ⇒ 

см

2) Медианы треугольника пересекаются,  параллельны плоскости альфа, следовательно,  плоскость треугольника, в которой они лежат,  параллельна плоскости альфа.

  СЕ и ВF параллельны ( дано), следовательно, через них можно провести плоскость, притом только одну.

 Если две параллельные плоскости пересечены третьей, 

то линии их пересечения параллельны.⇒ СВ||EF.

 Четырехугольник, у которого противоположные стороны  попарно параллельны, является параллелограммом, ч.т.д.

3) Все грани параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 - квадраты со стороной a.⇒ этот параллелепипед - куб. 

  DA1В1С - прямоугольник, т.к. по т. о 3-х перпендикулярах диагонали А1D и В1С параллельных граней перпендикулярны ребрам А1В1 и DC .  Проведем через середины АD и ВC прямые КМ и ОН параллельно А1D и В1C, соединим К и О, М и Н. Пересекающиеся КО и КА параллельны пересекающимся АА1 и АD. ⇒ 

Плоскость сечения МКОН параллельна плоскости  DA1B1C  ⇒   . Стороны сечения КМНО пересекают ребра АА1, ВВ1, ВС и AD в их середине.  КМНО - прямоугольник. 

В параллельных гранях диагонали  А1D=B1C=a:sin45°=a√2

 КМ и ОН –– средние линии ∆ АА1D и ВВ1С соответственно и   равны половине А1D- равны

КО=МН=АВ=а

Р (КМНО=2(МН+КМ)=2a+2•(a√2/2)=a•(2+√2)