Два перпендикулярных отрезка KM и LN пересекаются в общей серединной точке P и образуют два равных треугольника KPN и MPL. Расстояние между точками K и L равно 41 см. Какое расстояние между точками M и N?

Равносторонняя трапеция АВСD.
Высота ВН равнобедренной трапеции, опущенная на большое основание, делит его на два отрезка, меньший из которых равен полуразности оснований.
Диагональ АС - биссектриса угла А, поэтому треугольник АВС равнобедренный, так как <CAD=<BCA (накрест лежащие при параллельных ВС и AD и секущей АС), а <CAD=<ВАС (так как АС- биссектриса), поэтому АВ=ВС=15см.
Итак, мы имеем прямоугольный треугольник АВН, в котором гипотенуза - сторона АВ=15, а катет АН=(33-15):2=9. тогда катет ВН (высота трапеции) равна по Пифагору √(15²-9²)=12см.
Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту, то есть (15+33)*12/2 =288см²
ответ: Sabcd=288 см²

Если точки A,B,C лежат на одной прямой, то ABCM, очевидно, не является трапецией.

Пусть точки  A,B,C не лежат на одной прямой. Тогда существует единственная плоскость (ABC), которая содержит все три эти точки. Так как точка M не лежит в (ABC), то не существует плоскости, в которой лежат все 4 точки A,B,C,M. Значит, четырехугольник ABCM является пространственным (не лежит ни в какой плоскости).

Из планиметрии известно, что трапеция - плоская фигура, поэтому четырехугольник ABCM трапецией быть не может.