Внутрішній кут правильного многокутника дорівнює 150 градусів. знайти кількість вершин

Вот вам решение :) треугольники ABC и BCP подобны треугольнику со сторонами 8, 15, 17, причем в треугольнике BCP BC - гипотенуза, а в треугольнике ABC - меньший катет.
Радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 8, 15, 17, равен (8 + 15 - 17)/2 = 3; то есть для треугольника BCP коэффициент подобия равен 96/3 = 32, откуда BC = 17*32 = 8*68. Я намеренно не "досчитываю", так как мне не нужны длины сторон, а нужен коэффициент подобия для треугольника ABC (и треугольника со сторонами 8, 15, 17), который "сам собой" и нашелся - он равен 68. 
Отсюда радиус окружности, вписанной в ABC, равен 68*3 = 204

1. Раз BAD = 90 градусов и ABD = 45 градусов, то оставшийся угол ADB= 180-90-45=45 градусов.
2. Судя по этим углам, можно заключить, что AD = AB, а раз AB = AC = BC, то AD = AB = BC = AC.
3. Раз в треугольнике AD = AC, то и угол ADC = угол ACD.
4. В треугольнике ABC угол A = угол B = угол C = 180/3 = 60 градусов.
5. В треугольнике ACD, как и всегда, сумма углов = 180 градусов. Но раз там угол D = угол C, то возьмём один из них за х. Получается, что х+х+90(угол DAB)+60(угол BAC) = 180.
180-90-60=2х
30=2х
х=15 градусов = угол ACD = ADC.
6. Угол D, как было указано в пункте №1, равен 45 градусам. Этот угол состоит из угла ADC (15 градусов) и угла CDB (который нам и надо найти). Получается, что:
45=15+CDB
CDB = 30 градусов