Abcd - прямоугольник, в котором ab=1, bc=2. на bc и ad взяты точки м и р так, что 4-угольник мврd - ромб. найти сторону ромба

Язаранее прошу прощения за это решение, чего-то голова не работает сегодня. ясно, что 1) треугольник тупоугольный - потому что центр описанной окружности o лежит за пределами треугольника. 2) все симметрично относительно высоты треугольника, проведенной к основанию, и оба центра - k и o, лежат на прямой, содержащей эту высоту (ось симметрии). далее, фигура akbo - ромб, так как диагонали его взаимно перпендикулярны и делятся пополам точкой e (ok по условию, а ab - в силу упомянутой симметрии). в ромбе диагонали - заодно и биссектрисы углов, поэтому ∠kao = ∠cab = 2*∠oab; (я напомню, что ak - биссектриса ∠cab; ) в результате получилось, что ce = r - r; r - радиус описанной окружности, r - вписанной, α = ∠cab = ∠oab; ∠oab = α/2; ac*sin(α) = r - r; ac = 2*r*sin(α); (теорема синусов) r = r*sin(α/2);   исключая ac и подставляя r/r = sin(α/2) = x; легко получить 1 - sin(α/2) = 2*(sin(α))^2 = 8*(sin(α/2))^2*(1 - (sin(α/2)^2); 8x^3 + 8x^2 - 1 =0; или x^3 + x^2 - 1/8 = 0; плохое кубическое уравнение, однако немного подумав, можно сообразить, что x = -1/2; - корень. если сократить на (x + 1/2); получится уже квадратное уравнение x^2 + x/2 - 1/4 = 0; единственный положительный (и меньше 1) корень этого уравнения x = (√5 - 1)/4; это синус 18°; поэтому сам угол при основании равен 36°;

Назовем трапецию abcd, а высоту вн. проведем еще одну высоту из ∠с: см рассмотрим δавн и δmcd: ab=cd(по опр. равнобедренной трапеции) ∠вна=∠cmd=90(по опр. высоты) ∠а=∠d(по св-ву равнобедренной трапеции) вн=см(так как вс параллельно ad⇒расстояние между ними всегда одинаковое, а оно измеряется посредством высот) ∠авн=∠мсd(так как ∠в=∠с(по опр. равноб. а ∠нвс=∠мсв=90(как накрест лежащие углы при параллельных прямых ⇒ ∠в - ∠нвс=∠с - ∠мсв) ⇒δавн = δmcd(по двум сторонам и углу между ними) ⇒ан=мd(как соответственные элементы в равных δ)⇒ан=мd=6 найдем основания: ad=30+6=36 вс=36-(6+6)=24 (другими словами, мы из аd вычли отрезки md и ан)