Даны координаты трех вершин параллелограмма KLMN K (-4; 4), L (-5; 1), M(-1; 5 Найдите координаты четвертой вершины и периметр данного параллелограмма.​

Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник, а точка пересечения его серединных перпендикуляров — центром окружности, описанной около этого треугольника. Из теоремы о медиане равнобедренного треугольника следует, что только в равностороннем треугольнике биссектрисы углов треугольника совпадают с серединными перпендикулярами. Значит, центр окружности, вписанной в треугольник, совпадает с центром описанной около него окружности только для равностороннего треугольника

1)Треугольники АОК и РОС равны по трем углам:
∠АКР=∠КРС,∠РСА=∠САК как накрестлежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущих, углы при О равны, как вертикальные.
Следовательно, равны и треугольники АОВ и КОС по двум сторонам и углу между ними: АО=ОС, КО=ОР, углы при О - вертикальные. ⇒
РС=АК, АР=КС.
Четырехугольник, в котором противоположные стороны попарно  равны - параллелограмм.
-----
 2) Площадь АРСК можно вычислить произведением высоты на основание. Высота этого параллелограмма, проведенная из вершины С  к АК = СД.
S =ah=AK*CD
CD -  катет прямоугольного треугольника с отношением сторон АС:АD:DC=13:12:х. Треугольник из Пифагоровых троек, и СD=5 ( проверить можно по т.Пифагора)
S=4*5=20 (ед.площади) 
-----
3) РК найдем из прямоугольного треугольника КРН, где РН⊥КD;  РН=СD=5
По т.Пифагора
КР= √(КН² +РН² )=√41 
----
4) Одна из формул для нахождения площади параллелограмма S=0,5*d1*d2*sin(α)
20=0,5*AC*KP*sin α
sin α=40:(13*√41)=40: (13*6,403) ≈ 0,4805
По таблице синусов это синус угла 28°43'