В прямоугольном треугольнике ABC, угол С=30°. Найдите меньшую сторону треугольника, если радиус вписанной в него окружности равен 4 см.

ответ
Точки К и М - точки пересечения перпендикуляров а и b с осью пересечения плоскостей:
AK = a (на плоскость альфа)
BM = b (на плоскости бета)
KM = c (на линии пересечения плоскостей)
1) Треугольник AKM:
L AKM = 90 град.
AK = a
KM = c =>
AM^2 = AK^2 + KM^2 = a^2 + c^2 =>
AM = V(a^2 + c^2) - проекция АВ на плоскость альфа)
2) Треугольник ВМК:
L BMK = 90 град.
BM = b
KM = c =>
KB^2 = BM^2 + KM^2 = b^2 + c^2
КВ = V(b^2 + c^2) - проекция АВ на плоскость бета)
3) Треугольник АМВ:
L AMB = 90 град. (т. к. плоскости перпендикулярны =>прямые, принадлежащие плоскостям, перпендикулярны)
AM = V(a^2 + c^2)
BM = b =>
AB^2 = AM^2 + BM^2 = a^2 + c^2 + b^2
AB = V(a^2 + b^2 + c^2) - длина отрезка АВ.

В условии ошибка. Если сторона квадрата 24, то его диагональ 24√2 ≈ 34. Тогда в треугольнике ASC сторона АС больше суммы двух других сторон: 34 > 13 + 13, т.е. треугольник с такими сторонами не существует.

Встречается такая же задача с другими данными:

Сто­ро­ны ос­но­ва­ния пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды равны 10, бо­ко­вые ребра равны 13. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти этой пи­ра­ми­ды.

Пирамида правильная, значит в основании лежит квадрат, а боковые грани - равные равнобедренные треугольники.

Проведем SH⊥CD. Тогда CH = HD (треугольник SCD равнобедренный).

CH = HD = 1/2 CD = 5.

ΔSCH: ∠SHC = 90°, по теореме Пифагора:

              SH = √(SC² - CH²) = √(169 - 25) = √144 = 12

Sпов = Sосн + Sбок

Sосн = AD² = 10² = 100

Sбок = 1/2 Pосн · SH = 1/2 · 10 · 4 · 12 = 240

Sпов = 100 + 240 = 340 ед. кв.