Паралельні прямі перетинають сторони кута з вершиною О у точках А, В, С, D. Знайдіть ВD якщо ОВ=3, ОА=4, АС=2.

∠CAD=∠AEB=α (первый угол между касательной и хордой, второй вписанный); ∠BAE=∠ACB=β по тем же причинам ⇒ΔABC подобен ΔEBA. Пусть коэффициент подобия равен k, тогда площади треугольников относятся как k^2, а поскольку площадь 4-угольника ACBE, состоящего из этих треугольников, относится к площади первого как 5 к 1, то площадь второго относится к площади первого как 4 к 1, а тогда коэффициент подобия равен 2 ⇒AB:BC=2:1

Второй вопрос корректен при условии, что речь идет о векторах. Так и будем считать. Поскольку по доказанному AB:BC=2:1 (сейчас мы их рассматриваем как стороны первого Δ), стороны второго относятся так же, BE:AB=2:1. Поскольку биссектриса делит сторону на отрезки, пропорциональные боковым сторонам,  ED/DA=2/1.

Теперь равенства будут векторные.

AB=AE+EB=(3/2)DE-BE⇒p= - 1; q=3/2  

Итак- треугольники АОД и ВОС подобны и соответствующие стороны подобны. , т.е. АО подобно ОС.  
А с каким коэфф.? А вот здесь вспоминаем (либо запоминаем ) - отношение площадей равно отношению квадратов соответствующих линейных величин. ( это легко доказать либо понять- площадь - это умножить одну величину на другую.)

коэфф подобия площадей = 27/3=9 - площади относятся как 9:1, тогда коэфф. подобия линейных величин( сторон, высот) будет   √9   т.е. 3
Значит, АО:ОС=3
откуда ОС =АО/3=6/3= 2

тогда АС=АО+ОС=6+2=8