Внутри треугольника АВС взята точка О такая, что лучи АО и СО -биссектрисы углов ВАС и АСВ. Через точку О проведена прямая, паралельная прямой АС, которая пересекает стороны АВ и ВС треугольника в точках М и N, соответственно. Известно, что периметр треугольника АВС равен 40 см, а периметр треугольника МВN равен 30 см. Найти длину отрезка АС

Если соединить концы заданных отрезков x и y, получится параллелограмм, причем каждая из сторон будет параллельна диагонали четырехугольника и равна половине этой диагонали. Дело в том, что диагональ любого выпуклого четырехугольника делит его на два треугольника, и отрезок, соединяющий середины СОСЕДНИХ сторон, является в этом треугольнике средней линией. Поэтому такой отрезок параллелен диагонали и равен её половине.

Итак, у нас есть ПАРАЛЛЕЛОГРАММ, у которого заданы диагонали x и y, и угол между ними 60 градусов. Надо найти стороны (потом достаточно умножить результат на 2, и получится ответ).Если сразу обозначить искомые диагонали m и n, то стороны параллелограмма будут m/2 и n/2.

По теореме косинусов (ясно, что диагонали параллелограмма пересекаются в их серединах)

(m/2)^2 = (x/2)^2 + (y/2)^2 - 2*(x/2)*(y/2)*cos(60)

m^2 = x^2 + y^2 - x*y; 

Аналогично

n^2 = x^2 + y^2 + x*y;

В сущности, это и есть ответ. :

m = корень(x^2 + y^2 - x*y); 

n = корень(x^2 + y^2 + x*y);

 

В параллелепипеде 6 граней, - по две противоположных, которые попарно равны между собой. Естественно, их диагонали также равны. 
В каждой вершине параллелепипеда сходятся смежные стороны трех граней, и их диагонали образуют треугольник. (см. рисунок вложения) 
В данном случае диагонали равны 30, 40 и 70 см.  
По теореме о неравенстве треугольников: длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.
Здесь имеем "треугольник" и три длины, и 70=30+40.
Тогда меньшие стороны "лягут" на большую, и треугольник не получится, как и параллелепипед с такими диагоналями граней. 
Не могут диагонали трех граней прямоугольного параллелепипеда иметь длины 30 см, 40 см и 70 см.