Теорема о пересечении высот треугольника Теорема о пересечении высот треугольника

1) Дано:                                                                Решение:
тр.ABC                                             3x+4x=140      7x=140   x=20
Внеш. угол=140гр.                               
Найти:                                     
Внутренние
углы-?                                              ответ:Внутр. углы=20градусов
2)Дано:                                                          Решение:
Треуголь.ABC                                   110/2=55                                         
Внешн. угол=110град.                       угл.А=55град.
Найти:                                                 угл.В=55град.
Углы треугольника                              угл. С=70град.
                                              ответ:А=55, В=55, С=70

Построение ясно из рисунка.
Поскольку плоскость проходит через точки В,С и М, значит она проходит через среднюю линию MN грани АСD, параллельную ребру ВС. Продлим прямые ВМ и СN до их пересечения в точке Р. Треугольник ВРС равнобедренный, следовательно вершина S  пирамиды SBPC спроецируется на высоту PF основания ВРС, являющуюся и медианой основания, в точке Н.
Расположение точки Н на прямой PF зависит от угла SQF между плоскостями ВРС и АSВ. В нашем случае этот угол тупой, поэтому точка Н лежит вне грани АSD пирамиды  SABCD.

Так как пирамида правильная, в основании - квадрат.
Диагональ квадрата  равна в нашем случае 6√2.
Ее половина ОС=3√2.
Высота пирамиды по Пифагору SO=√(SC²-OC²)=√(144-18)=3√14.
Необходимо найти перпендикуляр SH к плоскости BCMN.
Вариант решения - через подобие прямоугольных  треугольников SHE и FOE по равным острым углам при вершине Е. Углы SHE и EOF - прямые.
Из этого подобия имеем соотношение: SH/FO=SE/EF и SH=FO*SE/EF.
Высота пирамиды SO=3√14 (по Пифагору из треугольника SOC).
Тогда QG=0,5*SO (так как MN - средняя линия треугольника ASD, и значит QG - средняя линия треугольника KSO).
Из подобия треугольников QGF и EOF имеем ЕО=FO*QG/FG.
FO=3, QG=1,5√14, FG=4,5. Тогда ЕО=3*1,5√14/4,5=√14 и, следовательно,  SE=SO-EO=2√14.
EF находим из треугольника EOF по Пифагору:
EF=√(OF²+OE²)=√(9+14)=√23. Тогда SH=3*2√14/√23.
ответ: SH=6√14/√23.