8. Хода АВ перпендикулярна до радіуса ОМ і перетинає його в точці К, ОК : КМ = 8 : 9, АВ = 90см. Знайти радіус кола.​

Відповідь: 51 см

Пояснення: фото

Будем использовать следующие известные факты (они все легко доказываются):
1) Угол между биссектрисами двух углов треугольника равен 90° плюс половина третьего угла треугольника.
2) Биссектриса треугольника пересекает его описанную окружность в точке, лежащей на серединном перпендикуляре к той стороне, к которой проведена биссектриса.
3) Вписанный в окружность угол в 60° опирается на хорду равную R√3.

Пусть E и F - точки пересечения биссектрис треугольников ABD и АСD соответственно. Тогда из этих треугольников в силу 1) получаем ∠AED=∠AFD=90°/2+90°=135°. Значит AEFD - вписанный 4-угольник и радиус окружности описанной вокруг него равен AD/(2sin∠AED))=2/(2/√2)=√2=EF. Центр О этой окружности лежит на серединном перпендикуляре  к AD и OH=1 т.к. HD=1 и OD=√2, где H - середина AD. Кроме того, треугольник OEF - равносторонний. С другой стороны, в силу факта 2) прямые BE и CF также пересекаются в точке О, т.к. прямоугольные треугольники ABD и ACD вписаны в окружность с центром H и радиусом HD=1. Таким образом, угол ∠BOC=∠EOF=60°, а значит по свойству 3) BC=√3.

Обозначим вершины ромба: А.В.С.Д. Пусть диагональ АС = 80см,
диагональ ВД = 60см. Тоска пересечения диагоналей О. Точка вне плоскости ромба - M, МО = 45см. Половинки диагоналей ОС =40см, ОД = 30см.
Найдём сторону ромба. Поскольку диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то в Δ ДОС ∠ДОС = 90⁰. Гипотенузой является сторона ромба СД.
По теореме Пифагора: ДС² = ОД² + ОС² = 30² + 40² =  900 + 1600 = 2500.
ДС = 50(см).
Из точки О опустим перпендикуляр ОК на сторону СД. ОК является проекцией отрезка МК (расстояния от точки М до стороны ромба - это её надо найти).
Найдём ОК.
sin ∠ОСД = ОД: ДС = 30:50 = 0,6.
ОК = ОС·sin ∠ОСД = 40·0,6 = 24(см)
Из прямоугольного ΔМВК с прямым углом МВК найдём МК
По теореме Пифагора: МК² = МО² + ОК² = 45² + 24² =  2025 + 576 = 2601.
МК = 51(см)