В трапеции ABCD с основаниями BC , AD BC:AD = 1:2 , точка К делит сторону CD в отношении 1:2 (считая от С), отрезок АК пересекает DB в точке О. Доказать, что BO=OD .

Хотелось бы, конечно, чтобы вычисления оказались такими удобными. Но! 

При данном пользователем решении в подобных треугольниках  взяты отношения не соответственных сторон.  Задача и впрямь тьма из-за вычислений - кругом дроби ))

При решении этой задачи нужно воспользоваться или теоремой 

Пифагора, и тогда 

h²=5² -х² 

h²=12²-(13-х)²

5² -х²=12²-(13-х)² 

Или воспользоваться этими правилами ( результат будет тот же)

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.
По теореме Пифагора гипотенуза с=13 см
1-й отрезок гипотенузы
а²=а₁·с
25=а₁·13
а₁=25/13

2)1-й отрезок гипотенузы
b²=b₁*c
144=b₁*13
b₁=144/13
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.
h ²=а₁·b₁ (25/13)·(144/13)=3600/169

h=60/13 см

При других значениях а и b ход решения тот же.
 

Надеюсь, при вычислениях не допустила ошибки.

Хотелось бы, конечно, чтобы вычисления оказались такими удобными. Но! 

При данном пользователем решении в подобных треугольниках  взяты отношения не соответственных сторон.  Задача и впрямь тьма из-за вычислений - кругом дроби ))

При решении этой задачи нужно воспользоваться или теоремой 

Пифагора, и тогда 

h²=5² -х² 

h²=12²-(13-х)²

5² -х²=12²-(13-х)² 

Или воспользоваться этими правилами ( результат будет тот же)

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.
По теореме Пифагора гипотенуза с=13 см
1-й отрезок гипотенузы
а²=а₁·с
25=а₁·13
а₁=25/13

2)1-й отрезок гипотенузы
b²=b₁*c
144=b₁*13
b₁=144/13
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.
h ²=а₁·b₁ (25/13)·(144/13)=3600/169

h=60/13 см

При других значениях а и b ход решения тот же.
 

Надеюсь, при вычислениях не допустила ошибки.