Точка дотику вписаного у прямокутний трикутник кола ділить гіпотенузу на відрізки 8 і 12 см. Обчисліть площі вписаного і описаного навколо трикутника кругів.

ответ: Sопис=100πсм²; Sвпис=16πсм²

Объяснение:

1) центр описанной окружности в прямоугольном треугольнике – это середина гипотенузы, поэтому

R=(12+8)/2=20/2=10см

2) Обозначим вершины треугольника А В С а точки касания К М Е. Стороны треугольника являются касательными к вписанной окружности и отрезки касательных соединяясь в одной вершине равны от вершины до точки касания. Поэтому: МА=КА=12см;

ВК=ВН=8см, СМ=СЕ. Найдём радиус вписанной окружности через периметр треугольника, поэтому сначала нужно найти его стороны. Пусть МС и СЕ=х, тогда АС=12+х; ВС=8+х; АВ=12+8=20см.

Составим уравнение используя теорему Пифагора: АС²+ВС²=АВ²

(12+х)²+(8+х)²=20²

144+24х+х²+64+16х+х²=400

2х²+40х+208-400=0

2х²+40х-192=0 |÷2

х²+20х-96=0

Д=400-4×(-96)=400+384=784

х1= (-20-28)/2= –58/2= –29

х2=(-20+28)/2=8/2=4

Значение х1 нам не подходит поскольку сторона не может быть отрицательной поэтому используем х2=4

Итак: АС=12+4=16см

ВС=8+4=12см

АВ=20см

Найдём периметр треугольника:

Р=16+12+20=48

Чтобы найти радиус нам нужен полупериметр: р=48/2=24см

Вычислим радиу по формуле:

r=√((p-a)(p-b)(p-c)/24)

r=√((24-20)(24-16)(24-12)/24)=

=√(4×8×12/24)=√(384/24)=√16=4см

Площадь любой окружности вычисляется по формуле: πr², подставим в неё найденные данные и найдём Sопис и S впис:

Sопис=π×10²=100πсм²

Sвпис=π×4²=16πсм²

Сделаем рисунок и обозначим вершины пирамиды АВСА1В1С1. Ребро ВВ1⊥АВС=1 см

Площадь боковой поверхности этой пирамиды -  сумма площадей трех трапеций: двух прямоугольных и одной равнобедренной - той, что противолежит  ребру ВВ1. 

В основаниях пирамиды правильные треугольники - следовательно,   длины  средней линии всех трапеций равны 0,5•(3+5)=4 см

Площадь прямоугольных граней  равна произведению  их средней линии на  длину высоты пирамиды, т.е.  . 

S (АВВ1А1)=S (ВВ1С1С)= 4•1=4 см²

Чтобы найти  высоту грани АА1С1С,  проведем в основаниях пирамиды высоты  ВН и В1К  и соединим К и Н. 

Плоскость прямоугольной трапеции ВНКВ1 перпендикулярна плоскости оснований, т.к. содержит в себе отрезок ВВ1, перпендикулярный обоим основаниям.  

Из К опустим высоту КТ. 

КН по теореме о трех перпендикулярах перпендикулярна АС и является высотой трапеции АСС1А1. 

В прямоугольном треугольнике КТН катет КТ=ВВ1=1см, катет НТ равен разности высот оснований пирамиды. 

ВК=(3√3):2

BH=(5√3):2

ТН=2√3):2=√3 см

КН=√(КТ²+НТ²)=√4=2 см

S (АСС1А1)=4*2=8 см²

S(бок)=4+4+8=16 см²

АВСД - трапеция, АД-ВС=14 см, Р=86 см, ∠АВД=∠СВД, АВ=СД.
В трапеции биссектриса отсекает от противоположного основания отрезок, равный боковой стороне, прилежащей к биссектрисе (свойство трапеции, да и параллелограмма тоже). В нашем случае биссектриса - это диагональ, значит АВ=АД.
АВ=АД=СД, ВС=АД-14 ⇒ Р=4·АД-14,
86=4АД-14,
АД=25 см.
ВМ - высота на сторону АД.
В равнобедренной трапеции АМ=(АД-ВС)/2=14/2=7 см.
В тр-ке АВМ ВМ=√(АВ²-АМ²)=√(25²-7²)=24 см.
ВС=АД-14=25-14=11 см.
Площадь трапеции: S=(АВ+ВС)·ВМ/2=(25+11)·24/2=432 см² - это ответ.