Найдите объём прямоугольного параллелепипеда с диагональю 13 см и сторонами 3 см и 4 см ​

Дано:

Прямоугольный параллелепипед .

(см).

(см).

(см).

Найти:

см.

Решение:

.

Квадрат диагонали нашего параллелепипеда равен сумме квадратов 3 его измерений: .

То есть из этого следует, что:

Остаётся найти объём по формуле, указанной выше:

(см³).

ответ: (см³).

1. KA - перпендикуляр к плоскости треугольника ABC. Известно, КВ⊥BC.

а) докажите, что треугольник ABC - прямоугольный.

б) докажите, перпендикулярность плоскостей KAC и ABC.

в) найдите KA, если AC = 13 см, BC = 5 см, ∠KBA = 45°.

а) КВ - наклонная к плоскости ΔАВС, АВ - ее проекция, так как КВ⊥ВС, то и АВ⊥ВС по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах. Значит ΔАВС прямоугольный.

б) КА⊥(АВС), КА⊂(КАС), ⇒ (КАС)⊥(АВС), так как если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то плоскости перпендикулярны.

в) Из прямоугольного треугольника АВС по теореме Пифагора:

АВ = √(АС² - ВС²) = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 см

ΔКАВ прямоугольный с углом 45°, значит равнобедренный,

КА = АВ = 12 см

2. ВО⊥α. ВО - искомое расстояние от точки В до плоскости α.

Пусть Н - середина АС.  Треугольник АВС равнобедренный, значит ВН - медиана и высота треугольника.

ВН⊥АС, ОН - проекция ВН на плоскость α, значит ОН⊥АС по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах. Значит

∠ВНО = 30° - линейный угол двугранного угла между плоскостями АВС и α.

ΔАВН: ∠АНВ = 90°, по теореме Пифагора:

            ВН = √(АВ² - АН²) = √(20² - 12²) = √(400 - 144) = √256 = 16 см

ΔВОН: ∠ВОН = 90°,

            ВО = ВН/2 = 8 см по свойству катета, лежащего напротив угла в 30°.

3. АО⊥α.

ОВ и ОС - проекции наклонных на плоскость α.

∠АВО = ∠АСО - углы, образованные наклонными с плоскостью α.

ΔАОВ = ΔАОС по катету и противолежащему острому углу (АО - общий катет, ∠АВО = ∠АСО по условию), значит

АВ = АС, а так как АВ = ВС по условию, то треугольник АВС равносторонний.

Углы ΔАВС равны 60°.

Пусть основания ВС и AD. Обозначим точку пересечения диагоналей - точку О.
    Проведем высоту через точку пересечения диагоналей.
Высота делит основания равнобедренной трапеции пополам.
Пусть отрезок высоты в треугольнике ВОС равен х, а отрезок высоты в треугольнике AOD  равен (h-x).
BC/2=x·tg((180°-α)/2)
AD/2=(h-x)· tg((180°-α)/2)

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

MN=(BC+AD)/2=(BC/2)+(AD/2)=x·tg((180°-α)/2) +(h-x)· tg((180°-α)/2) =

=tg((180°-α)/2)(x+h-x)=h·tg((180°-α)/2)=h·tg(90°-(α/2))