тема: "Свойства биссектрисы треугольника"​

ответ:  C)

600√3

Решение: S=1/2 *AB*BC* sin B

а длина биссектрисы через две стороны и угол между ними;

ВД= (2АВ*ВС* cоs (∠В/2) /(АВ+ВС).

cоs (∠В/2) =ВД*(АВ+ВС)/2АВ*ВС=24*(60+40)/2*60*40=12/24=1/2.

∠В/2=60°

∠В=120°

sin120°=√3/2

S=1/2*60*40*√3/2=600√3

Треугольник АВС, О -центр, ОН радиус перпендикулярный АВ в точке касания, ОК радиус перпендикулярный АС в точке касания,

четырехугольник АНОК, угол АНО+углуАКО=90, уголА=60, угол НОК = 360-90-90-60=120 

треугольник НОК равнобедренный ОН=ОК=радиусу=1, проводим высоту ОР на НК, угол ОНК=углуОКН=(180-120)/2=30, треугольник ОКР прямоугольный, ОР=1/2 ОК - лежит напротив угла 30, ОР = 1/2=0,5, НР=РК= корень (ОК в квадрате - ОР в квадрате) =

=корень( 1-0,25) = 0,5 х корень3, НК =НР+РК= 2 х 0,5 х корень3 =корень3

треугольник АНК равнобедренный АН=АК как касательные к окружности. проведенные из одной точки, угол АНК=углуАКН = (180-60)/2=60, треугольник АНК равносторонний углы=60, значит АК=АН=НК=корень3

расстояние=корень3

Когда все это нарисовали, то видим, что имеем вписанный четырехугольник. Но четырехугольник может быть вписпнным только и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°.

Но углы АВС и АDС опираются на диаметр, значит равны по 90°, а в треугольниках АОD

и АОВ (О-центр круга) все углы равны, так как треугольник равносторонний (все стороны - радиус)

т.е угол САD=уголВDС= 60° и следовательно угол ВАD = 120°

Тогда противоположный угол ВСD = 180°-120°=60°. Все углы найдены.

А градусные меры дуг равны удвоенному значению угла, на эту дугу опирающегося, то есть

Дуга АВ = АD = 60° дуга ВС = СD = 120°

итого 120+240=360° - это проверка