Шар с центром в точке O касается плоскости в точке A. Точка B лежит в плоскости касания. Найди объём шара, если AB=23, 1см, а BO=31, 9см. (ответ округли до десятых!)

На рис. изображена сама пирамида, вид сверху, треугольник в вертикальном сечении пирамиды и грань DSC.

 

Заметим, что от выбранных масштабов по осям результат не зависит, поэтому можно просто задать произвольные значения длинам сторон основания и ребрам.

 

Примем SC=SD=SA=SB=5, AB=BC=CD=DA=2

Тогда SF=SE=2, FC=ED=3

QC=CD/2=1      OQ=PQ/2=DA/2=1

Найдем SQ=sqrt(SC^2-QC^2)=sqrt(25-1)=sqrt(24)=2*sqrt(6)

Найдем высоту пирамиды H=SO=sqrt((SQ^2-OQ^2)=sqrt(24-1)=sqrt(23)

H=sqrt(23)

Найдем объем пирамиды V=(1/3)*AD*DC*SO=(1/3)*2*2*sqrt(23)=(4/3)*sqrt(23)

V=(4/3)*sqrt(23)

Заметим, что сечение разбивает пирамиду на верхнюю наклонную пирамиду и нижний многогранник, который состоит из двух пирамид FMBCN, ESADT и лежащую на боку призму TSENFM (разбиеним вертикальными сечениями по MN и ST).

Найдем объемы этих тел. Для этого нужно вычислить высоту h=KL.

Из подобия тругольников следует, что h/H=KQ/SQ=3/5

h=(3/5)*H=(3/5)*sqrt(23)

h=(3/5)*sqrt(23)

Далее найдем MS=EF и BM=SA

Опять из подобия треугольников EF/DC=SF/SC=2/5

EF=(2/5)*DC=4/5

EF=MS=4/5

 

SA=(AB-MS)/2= (2-(4/5))/2=3/5

SA=3/5

 

Объем призмы TSENFM= площадь основания (тр-ка SET) * высоту (MS=EF)

площадь тр-ка SET= (1/2)*ST*h=(1/2)*2*(3/5)sqrt(23)=(3/5)sqrt(23)

Объем призмы TSENFM = (3/5)sqrt(23)*(4/5)=(12/25)*sqrt(23)

Объем призмы TSENFM = (12/25)*sqrt(23)

 

Найдем объем пирамиды EASTD.

 

объем пирамиды EASTD=(1/3)*(площадь ее основания) * (ее высоту)

высота пирамиды EASTD=KL=h

площадь основания пирамиды EASTD = AD*SA=2*(3/5)=6/5

объем пирамиды EASTD=(1/3)*(6/5)*(3/5)sqrt(23)=(6/25)*sqrt(23)

Объем пирамиды EASTD=(6/25)*sqrt(23)

 

Объем нижнего многогранника = объем призмы + 2*(объем пирамиды)

Объем нижнего многогранника = (12/25)*sqrt(23) + 2*(6/25)*sqrt(23) = (24/25)*sqrt(23)

 

v = Объем верхней отсеченной пирамиды  = Объем всей пирамиды SADCD - Объем нижнего многогранника

 

v=(4/3)sqrt(23) -(24/25)*sqrt(23)=(28/75)*sqrt(23)

v=(28/75)*sqrt(23)

 

 v/V=((28/75)*sqrt(23)) / ((4/3)sqrt(23))=(28/75) / (4/3) =7/25

 

ответ: 7/25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Опустим из В перпендикуляр ВН на плоскость α.
Пусть ВН=а 
Δ АВН прямоугольный.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°⇒  
∠АВН =90°-45°=45°.
 Два равных угла  - свойство равнобедренного треугольника.  ⇒ АН=ВН=а
Проведем отрезок НС⊥АН до пересечения с прямой АС. 
Δ АНС прямоугольный, а т.к. ∠НАС=45°, то ∠НСА=45°⇒
Δ ВНС - равнобедренный. 
Соединим В и С
В прямоугольных треугольниках АВН, СВН, АСН - катеты равны а. 
Следовательно, эти треугольники равны, из чего следует равенство их гипотенуз
АВ=ВС=АС. 
Δ АВС - равносторонний, все углы равностороннего треугольника равны 60°⇒∠ВАС=60°, что и требовалось доказать.