Основание прямого параллелепипеда – ромб. Диагонали параллелепипеда - 9 и 5 см, высота – 3 см. Вычислите объем параллелепипеда

67,5 см³

Объяснение:

Площадь основания данного параллелепипеда равна половине произведения диагоналей Sосн=1/2 * 9 * 5 = 22,5 см²

V=Sосн*h=22,5* 3=67,5 см³

Площадь полной поверхности пирамиды (обозначим её МАВСD) 

состоит из суммы площадей всех граней. 

Противоположные боковые грани равны по трём сторонам. 

Так как МО перпендикулярна плоскости основания, а ВD⊥АВ и CD, то ОВ – проекция наклонной МВ. 

По т.о 3-х перпендикулярах МВ⊥АВ.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам ⇒. ОВ=1,5.

Высота пирамиды МО⊥ОВ. 

 Из ∆ МОВ по т.Пифагора 

МВ=√(МО²+ОВ²)=√(4+2,25)=2,5

Ѕ(АМВ)=МВ•АВ:2=2,5•4:2=5 м²

Ѕ(MCD)=S(AMB) ⇒Ѕ(MCD)+S(AMB)=10 м²

Найдём высоту второй пары боковых граней. 

а) Высота DH прямоугольного ∆ BDH (в основании) равна произведению катетов, делённому на гипотенузу. 

DH=DB•DC:BC=3•4:5=2,4 м

Проведем ОК⊥ВС

ВO=ОD ⇒ ОК - средняя линия ∆ВDH и равна половине DH.

ОК=1,2 м

ОК - проекция наклонной МК. ⇒ По т.ТПП отрезок МК⊥ВС и является высотой ∆ ВМС

б) Из прямоугольного ∆ МОК по т.Пифагора 

МК=√(MO²+OK²)=√(4+1,44)=√5,44

√5,44=√(544/100)=(2√34):10=0,2√34

 S(MBC)=BC•MK:2=0,5•5•0,2√34=0,5√34 м² 

S(AMD)=S(MBC)⇒ S(AMD)+S(MBC)=2•0,5√34=√34 м²

S(ABCD)=DB•AB=3•4=12 м²

Площадь полной поверхности MABCD:

2•S(AMB)+S(ABCD)+2•S(MBC=10+12+√34=(22+√34)м²

Обозначим высоту пирамиды Н, высоту боковой грани h, сторону основания а (в основании квадрат).

площадь основания  = площадь полной поверхности - пощадь боковой поверхности = 96 см^2 - 80 см^2 =16 см^2

Т.к. в основании квадрат,  площадь основания = а^2 =16 см^2

а=4

Площадь поверхности одной боковой грани = а*h/2 =80/4 =20 cм^2

Высота боковой грани h = 20*2/4=10 см

Рассмотрим треугольник, образованный высотой пирмиды, высотой боковой грани и отрезком (обозначим его длину с), соединяющим точки их пересечения с основанием, равным полвине стороны основания. Это прямоугольный треугольник, т.е. h^2 = c^2 + H^2

c=a/2 = 2 см

H = корень квадратный (h^2 - c^2) = корень квадратный (96)=4 корня квадратных из 6