Точки M и N делят сторону BC треугольника ABC на три равные части, причём M лежит ближе к B. Прямая, параллельная стороне AC, пересекает отрезки AB, AM и AN в точках D, E и F соответственно. Найдите отношение DE:EF.

GN||DF => GH/HN =DE/EF (соответствующие отрезки в подобных треугольниках GAN и DAF)

Теорема Фалеса

BG/GA =BN/NC =2/1

GA/AB =1/3

Теорема Менелая

BM/MN *NH/HG *GA/AB =1

1/1 *NH/HG *1/3 =1 => GH/HN =1/3 =DE/EF

ΔOAH является равнобедренным, так как AO=OH, следовательно углы OHA и OAH равны. Поскольку угол OAH = углу QDH , то угол OHA = углу QDH/
OQDH является параллелограммом, так как:
  OQ параллельна HD (средняя линия и основание)
  OH параллельна QD (соответственные углы равны)

h-?
Обозначим точку касания стороны CD к окружности за F
BC=CF=1
Угол CQO = 75 градусам
Угол OFQ - прямой
Угол FOQ = 15 градусам
Угол BOQ = 75 градусам
Угол BOF = 60 градусам
Угол COF = 30 градусам
  ΔCOF - прямой. Катет CF лежит против угла в 30 градусов, следовательно гипотенуза OC равняется его удвоенному значению
OC=2
В треугольнике OCQ из вершины С проведем высоту в точку N.
Угол CON = 45 градусам
Треугольник OCN - прямой равнобедренный, следовательно CN=ON=
CN является высотой трапеции OBCQ, которая подобна трапеции ABCD 
BO/BA=CN/h

ответ: .

A) очень легко - OH II CD, потому что составляют равные углы с AD, так как трапеция равнобедренная по условию, а треугольник AOH равнобедренный, OA = OH = R; - радиус построенной окружности.
Понятно, что и OQ II AD, как средняя линия.
Теперь еще обозначения. K - точка касания окружности с CD, OK = R, разумеется. Далее, ∠BAD = α = 75°; ясно, что ∠OHA = ∠CDA = ∠CQO = α;
Основания я обозначу, как AD = a; BC = b = 1;
Кроме того, пусть прямая BN II CD, и точка N лежит на AD.
б) Ясно, что DN = b; кроме того, HN = AH, так как OH II BN и AO = OB;
AH = 2Rcos(α);
AD = AH + HN + ND
a = b + 4Rcos(α);
Из треугольника OKQ
OQ*sin(α) = R; но OQ - средняя линия трапеции
(a + b)*sin(α)/2 = R;
Окончательно
a = b + (a + b)*sin(2α);
a = b*(1 + sin(2α))/(1 - sin(2α));
Это - решение в общем виде.
Теперь, если подставить b = 1; sin(2α) = sin(150°) = 1/2;
получится AD = 3