Апофема правильной четырехугольной пирамиды наклонена плоскости основания под углом 45°. Высота пирамиды 6 см. Найти ее объем.

Обозначим вершины пирамиды АВСД, высоту КО, а апофему КМ. Соединим точки О и М и получим прямоугольный треугольник КМО, в котором высота КО и ОМ - катеты, а КМ - гипотенуза. Сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90° и если угол КМО=45°, то угол МКО=90-45=45°. Этот треугольник равнобедренный, поэтому КО=МО=6см. В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. Если МО=½ ВС, поэтому АВ=ВС=СД=АД=6×2=12см

Sосн=а², где а- сторона основания. Найдём по этой формуле площадь основания: S=12²=144см²

Теперь найдём объем пирамиды по формуле: V=⅓×Sосн×KO=⅓×144×6=288см³

ОТВЕТ: V=288см³

Высота к гипотенузе делит прямоугольный треугольник на два, ему же - и между собой - подобные (это очень полезное заклинание, точно сильнее "авады кедавры").

Один из треугольников, НА которые высота разделила исходный треугольник, оказался Пифагоровым треугольником - раз у него одигн катет (это высота исходного тр-ка) 5, а гипотенуза (это катет исходного тр-ка) 13, то второй катет 12, и это один из отрезков, на которые высота делит гипотенузу. если обозначить второй отрезок x, то из подобия следует

x/5 = 5/12; x = 25/12;

Гипотенуза c равна c = 12 + 25/12 = 169/12;

Второй катет b можно найти так

b/13 = 5/12; b = 65/12;

 

На самом деле есть технический прием, который позволяет все это получить, так сказать, не думая.

Два треугольника со сторонами

(5, 12, 13)

(b, 13, c) 

подобны друг другу, откуда

b = 5*13/12 = 65/12

c = 13*13/12 = 169/12

x = c - 12 = 25/12;

Высота к гипотенузе делит прямоугольный треугольник на два, ему же - и между собой - подобные (это очень полезное заклинание, точно сильнее "авады кедавры").

Один из треугольников, НА которые высота разделила исходный треугольник, оказался Пифагоровым треугольником - раз у него одигн катет (это высота исходного тр-ка) 5, а гипотенуза (это катет исходного тр-ка) 13, то второй катет 12, и это один из отрезков, на которые высота делит гипотенузу. если обозначить второй отрезок x, то из подобия следует

x/5 = 5/12; x = 25/12;

Гипотенуза c равна c = 12 + 25/12 = 169/12;

Второй катет b можно найти так

b/13 = 5/12; b = 65/12;

 

На самом деле есть технический прием, который позволяет все это получить, так сказать, не думая.

Два треугольника со сторонами

(5, 12, 13)

(b, 13, c) 

подобны друг другу, откуда

b = 5*13/12 = 65/12

c = 13*13/12 = 169/12

x = c - 12 = 25/12;