Дано: А(5; –5; –7) ; В(4; –1; 1), С(–4; 10; 3 ABCD – паралелограм. Вектор (DK) ⃗ (4;−3;−1). Знайдіть довжину сторони МD паралелограма АКМD. Відповідь запишіть числом.

Если в пирамиде боковые ребра наклонены к основанию под одним углом (или равны), то высота проецируется в центр окружности, описанной около основания.
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, - середина гипотенузы.
Итак, О - середина гипотенузы АВ, МО - высота пирамиды, ОА = ОВ = ОС - проекции боковых ребер на плоскость основания, ∠МАО = ∠МАВ = ∠МАС = 60° - угол между боковыми ребрами и основанием.

АВ = 2ВС = 2а по свойству катета, лежащего напротив угла в 30°.
ОА = ОВ = а/2
ΔМВО: ∠МОВ = 90°, tg∠MBO = MO/OB.
MO = OB · tg 60° = a/2 · √3 = a√3/2

Вас обманули:) такого не может быть, потому что такого не может быть никогда.

Пусть прямая АР пересекает ВС в точке К.

Тогда по теореме Чевы (если не знаете эту теорему, могу потом с ней)

(АМ/MB)*(BK/KC)*(CN/NA) = 1;

если подставить АМ/МВ = 1/2; CN/AN = 3/2; получается ВК/КС = 4/3;

По теореме Ван-Обеля (см. предыдущее примечание)

ВР/PN = BM/MA + BK/KC = 2 + 4/3 = 10/3;

CP/PM = CK/KB + CN/NA = 3/4 + 3/2 = 9/4;

Если обозначить синус угла ВРС как х, то

площадь треугольника ВРС равна ВР*СP*x/2; 

площадь треугольника MNP равна PM*PN*x/2;

и их отношение равно (BP/PN)*(CP/PM) = 90/12 = 45/6;

так что если у треугольника MNP площадь 6, то у треугольника  BPC площадь 45, а не 15. 

 

Ну, и если уж очень хочется, в этом случае 

АР/PK = AM/MB + AN/NC = 7/6; то есть у треугольника ВСР высота (расстояние от Р до ВС) равно 6/13 высоты АВС (то есть расстояния от А до ВС), соответственно, и площадь АВС равна 13/6 площади ВСР (все необходимые обоснования дайте самостоятельно - например, объясните, почему это я говорю про высоты, если АК - наклонная к ВС?). 

 

Вы уж сами выбирайте, какое условие лишнее - площадь MNP или что-то другое.