Катеты прямоугольного треугольника равны 60 см и 80 см. Вычисли радиус описанной окружности и радиус вписанной окружности.

Это египетский треугольник гипотенуза его равна 100см, радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, т.е. 50см, а радиус вписанной можно найти по формуле (а+b-с)/2=(60+80-100)/2=20/см/

б) Искомое расстояние - длина отрезка АН, перпендикулярного к плоскости КМЕ. 

Т.к. АМ=МS;  АЕ=ВЕ; АК=КС, то МК и МЕ – средние линии треугольников АМК и АМЕ. 

∆ КАЕ - равнобедренный, его высота АО равна половине высоты АТ треугольника АВС. 

АТ по т. Пифагора из ∆ АТС=√(АС² -ТС² )=2√5

∆ КМЕ - равнобедренный, его высоту МО найдем из прямоугольного треугольника МАО.

АО=АТ:2=√5

МО=√(МА² +АО² )=5/2

В прямоугольном ∆ МАО отрезок  АН - высота, которая делит его на подобные треугольники, т. к. их острые углы равны (признак подобия прямоугольных треугольников). 

Из подобия следует отношение:

АН:АМ=АО:МО

АН:[(√5):2]=√5: 5/2  ⇒ АН=1

а) Так как пересекающиеся МК и МЕ соответственно параллельны пересекающимся SC и SB, то  плоскости МКЕ и CSB параллельны. АН ⊥плоскости КМЕ, следовательно, ее продолжение перпендикулярно плоскости CSB ( свойство прямой и параллельных плоскостей).

МО - средняя линия ∆ SAT, поэтому делит высоту АР, проведенную из вершины А, пополам. 

Объяснение:

1) СO и DO радиусы и являются сторонами одного треугольника, соответственно их углы будут равны. CDO = DCO = 30°.

Исходя из этого, можем найти COD, который будет равен 180 - 60 = 120°

COD и AOB являются вертикальными углами, соответственно их углы равны. AOB = COD = 120°.

AO и BO равны, т.к. являются радиусами.

угол АО = углу ВО = (180 - 120)/2 = 30°

2) Угол MNP опирается на дугу MP. Следовательно, градусная мера данной дуги будет равна MNP * 2 = 36°. Угол Mop опирается на эту же дугу, но т.к. он является центровым, то его угол будет равен градусной мере этой дуги, MOP = 36°.

Треугольник MON является равнобедренным, так как MO и NO являются радиусами и между собой равны. Исходя из свойства равнобедренного треугольника, угол OMN будет равен углу MNO и соответственно равен 18°.

Т.к. нам известны 2 угла треугольника MON, не составит труда найти третий угол. NMO = 180 - 36 = 144°

Итого:

NMO = 18

MOP = 36

NOM = 144

3) Угол B опирается на дугу АС, градусная мера которой 180°, исходя из чего угол B равен 90°. По теореме пифагора находим гипотенузу АС:

Радиус равен половине диаметра:

R = D/2 = 13/2 = 6,5

4) Проведём радиусы в точки касания. Из свойств радиуса, проведенного в точку касания известно, что угол в точке касания всегда равен 90°.

Из свойства радиуса проведённого в точку касания, мы можем найти угол AOB.

AOB = 360 - 90 - 90 - ADB = 360 - 180 - 70 = 110°.

Угол ACB опирается на дугу AB, и равняется половине угла AOB.

Угол ACB = 55°