Вправильной треугольной пирамиде dabc высота do равна 3 см, а боковое ребро da равно 5 см. найдите: а) площадь полной поверхности пирамиды; б) угол между боковым ребром и плоскостью основания; в) угол наклона боковойграни к плоскости основания; г) радиус шара, вписанного в пирамиду.

радиус окруж-ти, описанной вокруг осн-ния r=4см. (т.пифагора),  радиус вписанной r=(1/2)r=2см., апофема h=sqrt(9+4)=sqrt13, периметр р=3r*sqrt3=12sqrt3, площадь осн-ния sосн=3*r^2*sqrt3=12sqrt3; отсюда:   a) sполн=sосн+sбок=12sqrt3+12sqrt3*sqrt13=12sqrt3(1+sqrt13)  б) v=(1/3)*s*h=4sqrt3*4=16sqrt3  b) sina=3/5=0.6 (угол в табл. брадиса)  г) sinb=3/sqrt13; (угол в табл. брадиса)

а)рассмотрим треугольник адо: по теореме пифагора ао=4. оа=r. oh=r= 0,5*r=2

ав=rкорней из 3=4корня из 3.рассмотрим треугольник дон: дн= корень из 13( по теореме пифагора)

s=0,5рдн+0,5ан*вс=6 корней из3(корень из 13 +2)

б)угол дао=? sinдао=0,6

в)угол дно=? sin=3/корень из 13

Стержень - это цилиндр высотой н и радиусом r. квадратные гайки  - это прямоугольный параллелепипед высотой н и основанием - квадрат со стороной а=12 см.  чтобы был минимальный расход материала, нужно  прямоугольный параллелепипед вписать в цилиндр. значит диаметр стержня d  будет равен диагонали квадрата d: d=d=a√2=12√2. объем стержня  vс=πr²h=πd²h/4=π*288h/4=72πh. объем прям.параллелепипеда vп=a²h=144h. объем проделанного отверстия  радиусом  r=6/2=3:   vо=πr²h=9πh. найдем отходы v=vc-vп+vo=72πн-144н+9πн=9н(9π-16) процент отходов от объема %=v*100/vc=9н(9π-16)*100/72πн=12,5(9π-16)/π=112,5-200/π≈112,5-63,69=48,81%

Если окружность касается осей координат, то центр окружности о  отстоит от начала координат на величину радиуса. рассмотрим прямоугольный  треугольник, где оа - гипотенуза, равная радиусу r, а 2 катета равны: r  -  2 и  r - 1. по пифагору r² = (r - 2)² + (r  -  1)². раскроем скобки) r² = r²-4r+4+r²-2r+1. получаем квадратное уравнение r²-6r+5 = 0. квадратное уравнение, решаем относительно x:   ищем дискриминант: d=(-6)^2-4*1*5=36-4*5=36-20=16; дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: x₁=(√))/(2*1)=())/2=(4+6)/2=10/2=5; x₂ =(-√ ))/(2*1)=(-))/2=(-4+6)/2=2/2=1.второй корень не удовлетворяет условию и его отбрасываем.ответ: центр (-5; 5), r = 5.