Диагональ AC равнобокой трапеции АВСD делит угол BAD пополам (смотрите рисунок Точка E - середина отрезка AB. Прямая, проходящая через точку E параллельно основаниям трапеции, пересекает отрезок AC в точке К, а отрезок CD - в точке F. Найдите периметр трапеции ABCD, если EK = 3 см, KF= 5 см

Объяснение:

диагональ АС делит трапецию на 2 треугольника: АВС и АСД. Рассмотрим полученный ∆АСД. Так как точка Е - середина отрезка АВ, то точка F будет середина отрезка СД, следовательно EF является средней линией трапеции. Тогда KF будет являться средней линией ∆АСД (по теореме Фалеса: если прямая отсекает равные отрезки на одной стороне угла, то она отсекает равные отрезки и с другой стороны этого угла). По правилу треугольника его средняя линия=½ его основания, поэтому КF=½АД, или АД=2KF=5×2=10см

Если ЕF средняя линия трапеции, то она составит:

EK+KF=3+5=8см. Средняя линия трапеции вычисляется по формуле:

(ВС+АД)/2=EF. Используя эту формулу найдём сторону ВС:

перемножим числитель и знаменатель соседних дробей между собой крест накрест и получим:

ВС+10=8×2

ВС+10=16

ВС=16–10=6см

Рассмотрим ∆АВС. В нём <ВАС=<САД, поскольку диагональ АС биссектриса угла А. Так как ВС||АД, то <САД=<ВСА как внутренние разносторонние поэтому <ВАС=<ВСА, следовательно ∆АВС равнобедренный и АВ=ВС. Поскольку трапеция равнобедренная, то АВ=СД=ВС=6см

Теперь найдём периметр трапеции зная её стороны:

Р=АВ+ВС+СД+АД=6×3+10=18+10=28см

ОТВЕТ: Р=28 см

Внешний угол треугольника - это угол, смежный с одним из внутренних.
! случай. Внешний угол при вершине.
Смежный с ним угол равен 180⁰-116⁰= 64⁰.(угол при вершине)
По свойству внешнего угла,он равен сумме внутренних углов, не смежных с ним, т.е. сумме углов при основании. Но эти углы равны, значит, каждый из этих углов равен 116°:2°=58°.
2 случай.
Внешний угол при основании
Смежный с ним угол равен 180⁰-116⁰= 64⁰.Т.е. углы при основании равны по 64° .  Найдем угол при вершине 180° - 64° -64°=52°
ответ: 64°,58°,58°или 64°,64°,52°

Точки e,f,g,h - точки касания вписанной окружности со сторонами четырехугольника.
<cod=<cog+<god=94° (дано). <cog=0,5*<fog, <dog=0,5*hog (свойство угла между двумя касательными к окружности из одной точки - co и do являются биссектрисами углов <fog и <goh).
Значит <hof=94*2=188° (опирается на дугу hgf).
Тогда <hof (опирающийся на дугу hef) равен 360°-188°=172°.
Этот угол равен 2*<aoe+2*<eob или 2*(<aoe+<eob) по указанному выше свойству.
Но <aoe+<eob=<aob. Тогда <aob=172:2=86°.
ответ: <aob=86°.