У колі з центром О через середину радіуса проведено хорду AB, перпендикулярно до нього.Доведіть, що кут AOB дорівнює 120°​

Угол между хордой и касательной равен половине градусной меры дуги, стягиваемой этой хордой (свойство), то есть половине градусной меры дуги АВ.
На дугу АВ опирается центральный угол АОБ, значит дуга АВ = 120°. Значит угол между касательной и хордой в точке касания равен 120°:2 = 60°
ответ: искомый угол равен 60°.
Или так:
В равнобедренном треугольнике АОВ (стороны ОА и ОВ равны - радиусы) углы при основании равны по (180-120):2=30° (сумма углов треугольника = 180°). Касательная в точке касания перпендикулярна радиусу, значит искомый угол равен 90° - 30° = 60°.
ответ: 60°

0,9045

Объяснение:

Рисунок - см. прикрепление.

1) Из точки С опустим перпендикуляр на продолжение стороны АD.

Полученную точку обозначим Е.

2) Из точки В опустим перпендикуляр на сторону АD.

Полученную точку обозначим F.

3) Найти косинус острого угла BAF - значит в прямоугольном треугольнике AFB разделить длину стороны AF на длину стороны AB, так как косинусом угла является отношение прилежащего катета к гипотенузе АB, которая в параллелограмме является меньшей стороной и равна 11 см. Но AF нам не известно.

4) Найдём AF их прямоугольного треугольника ACE.

5) В этом треугольнике ACE:

- сторона АС = 14√5  - гипотенузой;

- сторона АЕ - катет, длина которого равна FE + FF;

АF = DF (так как треугольники ABF и CDE равны, согласно признаку равенства треугольников - если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны).

6) Обозначим DE = AF = х.

Тогда высоту СЕ можно выразить из треугольника АСЕ как

СЕ^2 = АС^2 - AE^2 =  (14√5) ^ 2 - (21+х)^2  

7) Ту же самую высоту СЕ можно выразить из прямоугольного треугольника DEC:

СЕ^2 = 11 ^ 2 - х^2.

8) Приравняем п. 6 и п.7  и найдём х:

(14√5) ^ 2 - (21+х)^2  = 11 ^ 2 - х^2    

196 * 5 - 441 - 42х - х^2 = 121 - х^2  

980 - 441 - 121 - 42 х = 0

42 х = 418

х = 9,95

9) Находим косинус острого угла параллелограмма:

Cos BAF = AF : АВ = 9,95 : 11 = 0,9045

ответ:  косинус острого угла параллелограмма = 0,9045

ПРИМЕЧАНИЕ. Теперь, когда все размеры известны, можно построить параллелограмм в масштабе. Получится, что параллелограмм как будто бы завален на правый бок. Это правильно, т.к. косинус острого очень большой (а значит, острый угол очень маленький).

БОРИС ГРІНЧЕНКО

(1863—1910)

Псевдоніми — В. Чайченко, Іван Перекотиполе, Вільхівський Б., Вартовий П., М. Гримич, Л. Яворенко.

Борис Дмитрович Грінченко народився 9 грудня І863 р. на хуторі Вільховий Яр на Харківщині (тепер Сумської області) у збіднілій дворянській родині Протягом 1874—1879 рр. він учився в Харківській реальній школі, але з п'ятого класу був виключений і ув'язнений за зв'язки з підпільною народницькою організацією. Після двомісячного ув'язнення Грінченко працював дрібним канцеляристом у Харківській казенній палаті. Екстерном склавши іспит на народного вчителя, у 1881—1894 рр. працював учителем на Харківщині, Сумщині, Луганщині, окрім-періоду 1886— 1887 рр., коли перебував на посаді статистика в губернському земстві на Херсонщині. Спілкувався з відомою діячкою народної освіти X. Д. Алчевською. На її за він разом з дружиною працював у народних школах Харкова.