АВ— отрезок на плоскости М, равный а, АС и BD—отрезки вне плоскости М, равные b, причём отрезок АС перпендикулярен к плоскости М, a BD, будучи перпендикулярен к АВ, составляет c плоскостью М угол в 30°. Определить расстояние CD.

    Проведем КМ||ВС.  КМ=ВС=АД                                                                                 КМ делит параллелограмм пополам.                                                                  Проведем АМ||КС.                                                                                                     КСМА - параллелограмм ( по равенству противоположных и параллельных сторон).                                                                                            

  АМ=КС. Но КС=КD следовательно, АМ=КD.                                       

  В параллелограмме КАDМ диагонали равны.                                                      Равенство диагоналей -  признак прямоугольника.                               

 Т.к. КМ разделила параллелограмм пополам, то  углы КАD и МDА - прямые, следовательно, и углы КВС и ВСМ - прямые.⇒                                     

 АВСD- прямоугольник. 

Сторона АС равна 140-34-50=56дм.
Найдем площадь треугольника АВС по Герону:
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)], где р - полупериметр, a,b,c - стороны треугольника.
В нашем случае S=√(70*36*20*14)=√(14*100*36*14)=840дм².
С другой стороны, Sabc=(1/2)*BD*AC, отсюда
BD=2S/АС или BD=2*840/56=30дм.
ответ: BD=30дм.

Вариант решения по Пифагору:
АС=140-84=56дм.
По Пифагору:
Из треугольника АВD:  BD²=34²-x².
Из треугольника ВDC:  BD²=50²-(56-x)².
34²-x²=50²-(56-x)².  Отсюда 112х=1156-2500+3136.
х=16.
По Пифагору из треугольника АВD: BD=√(34²-16²)=30.
ответ: BD=30дм.