1.25. Навколо трикутника описано коло. Чи можна стверджувати, що площина трикутника збігається з площиною: 1) яка проходить через деяку середню лінію трикутника;2) яка проходить через медіану трикутника;3) яка проходить через середини всіх сторін трикутника;4) кола, вписаного у трикутник?​

№186

Дано:

a и b ∩ c    

а) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°

в) ∠1 = 45°, ∠7 = 3∠3

----------------------------------

Доказать:

a║b

Доказательство:

а) ∠1 = ∠3 - (вертикальные углы) ⇒ ∠3 = 37°

   ∠7 = ∠5 = 143° - (вертикальные углы)

   ∠3 и ∠5 - соответственные углы при прямых a, b и секущей с ∠3+∠5 = 37°+143° = 180° ⇒ a║b - по признаку параллельных прямых.

в) ∠1 = ∠3 = 45° - (вертикальные углы).

   Так как ∠7 = 3∠3 ⇒ ∠7 = 3×45° = 135°

    ∠5 = ∠7 = 135° - (вертикальные углы)

    ∠3 и ∠5 - соответственные углы при прямых a, b и секущей с ∠3+∠5 = 37°+143° = 180° ⇒ a║b - по признаку параллельных прямых.

ответ: Что и требовалось доказать

P.S. - рисунок показан внизу там где 1 рисунок

№192

Дано:

∠BАC = 40°

∠BCE = 80°

CK - биссектриса ∠BCE

--------------------------------------

Доказать:

BK║AB

Доказательство:

Так как CK - биссектриса, то ∠ECK = ∠KCB = 40° ⇒ ∠BАC = ∠ECK = 40°, ∠BAC и ∠ ECK - соответственные углы при прямых AB, CK и секущей с AC ⇒ AB║CK по признаку параллельности прямых.

ответ: Что и требовалось доказать

P.S. - рисунок показан внизу там где 2 рисунок

Пусть О - точка пересечения медиан треугольника АВС. Треугольники AOP и BOM подобны по двум  углам (два угла равны по условию, еще два угла вертикальные). Тогда:

Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, то:

Если медианы, проведенные к двум сторонам треугольника равны, то и сами стороны также равны. Значит, АС=ВС и треугольник АВС равнобедренный.
Рассмотрим треугольник АМС. По теореме косинусов, учитывая соотношение АС=2СМ, получим:

Следовательно стороны в два раза больше:
Тогда площадь треугольника найдем как половину произведения двух его сторон на синус угла между ними:

ответ: 2/3