Трикутник описаного навколо кола, точки N, K - P точки дотику. AC=12см, ВК=4см. Знайдіть периметр трикутника АВС.

Рассмотрим треугольники ABE (красный) и CBD (жёлтый).

∠BEA  = ∠BDC = 90° (так как AE и CD — высоты △ABC).

⟹ треугольники ABE и CBD прямоугольные.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

В треугольнике ABE  ∠BAE = 90° — ∠B.

В треугольнике CBD  ∠BCD = 90° — ∠B.

⟹ ∠BAE = ∠BCD, ∠B — общий,

BA = BC (как боковые стороны равнобедренного △ABC)

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

⟹ треугольники ABE и CBD равны.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AE = CD.

Что и требовалось доказать.

Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. 

признак равнобедренного треугольника 

Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. 

признак равнобедренного треугольника 

Доказательство. 

Пусть треугольник ABC такой, что ∠ A = ∠ B. Докажем что он равнобедренный. 

доказательство признака равнобедренного треугольника 

Треугольник ACB равен треугольнику BCA, по второму признаку равенства треугольников, так как AB = BA, ∠ A = ∠ B, ∠ B = ∠ A. Следовательно, AC = BC. Получаем, что треугольник ABC равнобедренный. Теорема доказана.