Доведіть що через будь-яку пряму в просторі можно провести нескінченну множину площин

Уравнение прямой АС:

Применяем основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.
2(х+2)=13(у-3)
2х+4=13у-39
2х-13у+43=0      -   уравнение прямой АС

Нормальный вектор этой прямой имеет координаты (2;-13)
Уравнение прямой BD  запишем в общем  виде:
ax+by+c=0
Нормальный вектор прямой BD  имеет координаты (a;b)
Нормальные векторы прямых АС и BD ортогональны, так как прямые ортогональны.
Скалярное произведение таких векторов равно 0
Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат
2a-13b=0
Нетрудно догадаться, что достаточно  взять а=13; b=2
Чтобы найти с подставим координаты точки В в уравнение прямой BD
13x+2y+c=0
В(4:7)     x=4     у=713·4+2·7+с=0     ⇒      с=-66

Уравнение прямой BD :      13x+2y-66=0


Применяем уравнение прямой в виде   у=kx+b 
-уравнение прямой с угловым коэффициентом k

Запишем уравнение прямой АС в виде
 у=kx+b
Чтобы найти k и b  подставим координаты точек
А(-2;3)   х=-2    у=3   
С(11;5)   х=11   у=5   
в уравнение у =kx+b

Получим систему двух уравнений
3=-2k+b
5=11k+b

Вычитаем из первого уравнения второе    -2=-13k⇒    k=2/13
b=3+2k=3+(4/13)=43/13

Уравнение прямой АС :      у = (2/13)x+ (43/13)
и
Угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых при умножении равны (-1)
Угловой коэффициент прямой BD  равен (-13/2)

Уравнение BD также пишем в виде 
у=kx+b
Угловой коэффициент  k =(-13/2)
у=(-13/2)х+b

Чтобы найти b подставим координаты точки В в это уравнение
В(4;7)     х=4      у=7

7=(-13/2)·4+ b     ⇒      b=7+26=33
Уравнение прямой BD
y=(-13/2)x+ 33

В треугольник со стороной 10 см и высотой 7 см, проведенной к этой стороне,  вписан прямоугольник, стороны которого относятся как 4:7, причем меньшая сторона прямоугольника лежит на данной стороне треугольника. Найти стороны прямоугольника. 
---------
Сделаем рисунок треугольника АВС и вписанного прямоугольника ТМКО 
Треугольники МВК и АВС подобны -  МК||АС, углы при основаниях равны по свойству параллельных прямых и секущей, и угол В - общий. 
Пусть коэффициент отношения сторон прямоугольника будет х. 
Тогда ТО=МК=4х, 
МТ=КО=7х 
Высота ВЕ ∆ МВК=ВН-ЕН=7-7х 
Из подобия треугольников следует отношение их высот и оснований: ВН:ВЕ=АС:МК 
7:(7-7х)=10:4х 
28х=70-70х 
98х=70 
х=70:98=5/7 см ⇒
МК=ТО=4*5/7=20/7=2 4/7 см 
МТ+КО=7*5/7=5 см 
Проверка: 
ТО:ОК=(20/7):5=4/7