5. Длина незамкнутой ломаной ABOCD (см. рис. 1) равна 21 см. AB = 0C = CD, AB: BO = 2:1. Найдите длину про-стой ломаной АBОС.​

АВ=ВС, т.к. треугольник равнобедренный, а АС - основание. 
ВК=2, АК=8, тогда, АВ=10.
Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника, проведём биссектрису ВН: точка Н совпадёт с точкой касания окружности на стороне АС, т.к. в биссектриса, проведённая из угла В, является и высотой, и медианой, т.е. угол АНС = 90 градусов. 
АН=АК, т.к. отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны, т.е. АН=8, тогда АС=16. 
В прямоугольном треугольнике АВН АВ=10, АН=8, тогда по теореме Пифагора ВН=6. 
Найдём площадь треугольника: 1/2 * АС * ВН = 1/2 * 16 * 6 = 42.

1. 8 см

2. 4√3 см

Объяснение:

1. Сторона А(1)А(2) равна радиусу вписанной окружности, то есть двум диаметрам = 2R

В эту окружность вписан правильный треугольник со стороной 4√3 см.

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной а,  равен R = a/√3.

Находим радиус: R = 4√3/√3 = 4 см.

Значит, сторона А(1)А(2) равна 2R = 2*4 = 8 см

2. Сторона А(1)А(2) - это сторона правильного шестиугольника, описанного около окружности, в которую вписан  правильный треугольник со стороной 6√3 см.

Сначала находим радиус окружности, описанной около этого правильного треугольника, через его сторону.  R = a/√3 = 6√3/√3 = 6 см.

Известно, что правильный шестиугольник разбивается на шесть правильных треугольников с высотой, равной радиусу вписанной окружности. Из этого следует, что сторона правильного шестиугольника находится через радиус вписанной окружности по формуле: а = R/sin 60°.

Находим сторону:  а = 6:(√3/2) = 6*2 : √3 = 4√3 см