У квадраті ABCD на продовженні сторони BC за точку C вибрано точку K так, що KAD=2CAK. Знайти периметр квадрата, якщо AK=8см​.​

Пусть О₁ и O₂ - центры квадратов построенных на BC и AD соответственно, О - точка пересечения диагоналей трапеции, О' - точка пересечения AC и O₁O₂. Докажем, что О' совпадает с О.
1) O₁C||O₂A, т.к. ∠O₁CA=45°+∠BCA, ∠O₂AC=45°+∠DAC, ∠DAC=∠BCA, т.е. внутр. накрест лежащие углы ∠O₁CA и ∠O₂AС равны.
2) Значит треугольники  O₁CO' и O₂AO' подобны (по двум углам), т.е.
CO'/AO'=CO₁/AO₂=(BC/√2)/(AD/√2)=BC/AD.
3) Но О тоже делит AC в отношении BC/AD, т.к. треугольники BCO и DAO подобны. Значит O' совпадает с O.

Пирамида правильная, следовательно, вершина S проецируется в центр О основания (квадрата АВСD), а все углы, образованные боковыми гранями с плоскостью основания, равны. Это двугранные углы, измеряемые линейным углом, получаемым при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру (то есть перпендикулярной к обеим плоскостям). В нашем случае это угол SHO, образованный пересечением плоскостей основания и боковой грани плоскостью SOH, перпендикулярной основанию и боковому ребру (то есть перпендикулярной ребру АВ).

Тогда из прямоугольного треугольника SOH имеем:

SO = SH*Sinα = L*Sinα (высота пирамиды), а НО = L*Соsα.

Заметим, что НО - это половина стороны основания. Сторона равна 2*L*Соsα.

Тогда площадь основания So = 4*L²*Соs²α.

Объем пирамиды равен (1/3)*So*SO = (1/3)*4*L²*Соs²α*L*Sinα.

V = (4/3)*L³*Соs²α*Sinα = (2/3)*L³*Соsα*Sin2α (так как

2Sinα*Cosα = Sin2α).

ответ: V = (2/3)*L³*Соsα*Sin2α.