Втрапеции abcd проведены диагонали ac и bd. докажите тр.cob и aod подобны

углы aod и boc равны, как вертикальные углы. так как abcd трапеция, bc и ad параллельны => углы bda и dbc, bca и cad накрест лежащие, а значит bca = dbc и bca = cad. три угла треугольника obc соответственно равны трем углам треугольника oda => по 3 теореме подобия, треугольники cob и aod подобны. 

Рассмотрим треугольники adc и cbd. ∠dca=∠cba (т.к. градусная мера дуги ca равна половине угла dca по  четвертому свойству углов, связанных с окружностью, и на эту же дугу опирается  вписанный угол  cba, который тоже равен половине градусной меры дуги, на которую опирается по  теореме). ∠cdb - общий для обоих треугольников, следовательно, по  признаку подобия, треугольники adc и cbd -  подобны. следовательно, по определению подобных треугольников запишем: cd/bd=ac/bc=ad/cd ac/bc=am/mb=10/18 (по  первому свойству биссектрисы). из этих равенств выписываем: ad=cd*10/18 bd=cd*18/10, (bd=ad+ab=ad+18+10=ad+28) ad+28=cd*18/10 cd*10/18+28=cd*18/10 28=cd*18/10-cd*10/18 28=(18*18*cd-10*10*cd)/180 28*180=cd(324-100) cd=28*180/224=180/8=22,5 ответ: cd=22,5

Радиус проведенный в точку касания перпендикулярен касательной, т.е. < atm = 90°. тогда треугольник atm - прямоугольный. по теореме пифагора найдем тм (по условию тм - это диаметр окружности). am² = at² + tm² am = ae+me = 2+ 10 = 12. tm² = am² - at² = 12² - 6² = 6²·2² - 6² = 6²·(4-1) = 3*6², tm = √(3*6²) = 6*√3. искомый радиус равен половине диаметра тм. r = tm/2 = (6*√3)/2 = 3*√3. угол между касательной и секущей, проходящей через точку касания, равен половине отсекаемой дуги окружности. < ate = (1/2)*дуги_те, но также и вписанный < emt = (1/2)*дуги_te, тогда < ate=< emt=< amt из прямоугольного треугольника atm sin(< amt) = at/am = 6/12 = 1/2. < amt = arcsin(1/2) = 30° = < ate.