ОЧЕНЬ В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольник KMNP, вершинами которого являются середины отрезков OA, OB, OC и OD – прямоугольник

1.  Всякая плоскость пересекает шар по окружности. Расстояние от центра шара до плоскости - длина перпендикулярного к ней отрезка. Следовательно, этот отрезок перпендикулярен и радиусу окружности, отсекаемой плоскостью. Расстояние от центра до плоскости и радиус r окружности - катеты прямоугольного треугольника, радиус R шара - его гипотенуза. По т.Пифагора r=√(13²-12²)=5 см. Длина окружности 2pr=10π см

2. Вершины треугольника, которые лежат в сфере,  являются вершинами треугольника, вписанного в окружность, образованную плоскостью, проходящей на расстоянии 5 см от центра шара. Т.к. треугольник - прямоугольный, центр окружности лежит на середине гипотенузы. ⇒ r=24:2=12 см. Радиус r и расстояние от центра сферы до центра окружности сечения - катеты прямоугольного треугольника, радиус R сферы - его гипотенуза.  R= √(5²+12²)=13 см

1.треугольник АВС прямоугольный, АВ=20, ВС=10. Гипотенуза-20, катет-10, значит  уг САВ=30град.
2. Тогда уг АВС = 60 град
3. По условию т М делит АВ пополам, значит ВМ=10
4. Рассмотрим треуг МВС, МВ=ВС- по построению, уг В=60 град - это вершина равнобедренного треуг МВС. Значит два угла при основании равны между собой по свойству равнобедренного треугольника.
180-60=120(град)-сумма углов при основании,
120:2=60(град)-углы при основании.
5. все углы в треуг МВС 60 град, знгачит это равносторонний треугольник.
Значит СМ=МВ=ВС=10

ответ: СМ=10

2.
АN,CM-медианы по условию задачи, а медианы в треугольнике в точки пересечения делятся 2:1, считая от вершины.
Значит АО=2ОN
ON=12:3=4(см)
АО=2*4-8(см)

ответ: АО=8см