3. Стороны треугольника 5 см и 8 см, между ними 60°. Найти радиус окружности, внисанной в треугольник​

Дано: стороны треугольника с = 5 см и а = 8 см, угол между ними 60°.

По теореме косинусов находим длину третьей стороны а.

а = √(5² + 8² - 2*5*8*(1/2)) = √(25 + 64 - 40) = √48 = 7.

Находим площадь треугольника по формуле Герона.

Полуперимето р = (5 + 8 + 7)/2 = 10.

S = √(10*5*2*3) = 5*2*√3 = 10√3.

ответ: r = S/p = 10√3 / 10 = √3.

квадратный корень из 3

Объяснение:

Через теорему косинусов находим третью сторону(x):

x=квадратный корень из(25+64-2*5*8cos60градусов)

x=квадратный корень из(89-80*0.5) = 7

Зная три стороны, находим радиус вписанной окружности:

P=0.5*(5+8+7)=10

r=квадратный корень из((10-5)*(10-8)*(10-7)/10)=квадратный корень из 3

а) по следствию из теоремы синусов:

a / sin∠A = 2R

sin∠A = a / (2R) = 5/8

По значению синуса угол однозначно определить нельзя, он может быть как острым так и тупым, значит треугольник задан неоднозначно.

б) S = 1/2 · ab·sin∠C

sin∠C = 2S/(ab) = 24 / 30 = 4/5

По значению синуса угол однозначно определить нельзя, он может быть как острым так и тупым, значит треугольник задан неоднозначно.

в) по теореме косинусов:

АС² = BC² + AB² - 2·BC·AB·cos∠ABC

169 = BC² + 64 - 16 · BC · (-1/2)

BC² + 8·BC - 105 = 0

D = 64 + 420 = 484 = 22²

BC = (- 8 + 22)/2 = 7 или BC = (- 8 - 22)/2 = - 15 - не подходит по смыслу задачи

Так как третья сторона находится однозначно, то и треугольник задан однозначно.

У треугольников ABC и DEC стороны общего угла пропорциональны.

CE = CB*cos(C); CD = CA*cos(C);

поэтому эти треугольники подобны, и AB = ED/cos(C);

Поскольку ∠HEC = ∠HDC = 90°; то окружность, построенная на CH, как на диаметре, пройдет через точки D и E.

Поэтому CH - диаметр окружности, описанной вокруг треугольника DEC, и по теореме синусов ED = CH*sin(C);

Отсюда sin(C) = 12/13; => cos(C) = 5/13;

AB = 60*13/5 = 156;

Можно получить такую "обратную теорему Пифагора"

(1/ED)^2 = (1/AB)^2 + (1/CH)^2; :)

это соотношение решает задачку в общем виде, если в условии не скрыта Пифагорова тройка (как тут - 5,12,13)