У рівнобічній трапеції основи дорівнюють a і b, а кут між діагоналями дорівнює альфа. Знайдіть площу трапеції.

Первый признак равенства треугольников : по двум равным сторонам и равному углу между ними. В условии равные углы не образованы равными сторонами. Утверждать, что треугольники равны, нельзя (рис.1).

2. ∠BAC — прямой:    ∠BAC = ∠EDF = 90°;     (рис.2)

AB=DE (равные катеты);  BC=EF (равные гипотенузы)   ⇒

ΔABC = ΔDEF   по равным катету и гипотенузе.

3. ∠BAC — тупой  :    ∠BAC = ∠EDF > 90°;    (рис.3)

Так как в треугольнике может быть только один тупой угол, а два других будут острыми, то по теореме синусов

AB=DE  ⇒  sin∠BCA = sin∠EFD   ⇒  ∠BCA = ∠EFD (оба острые)

 ⇒  ∠ABC = ∠DEF (по сумме углов треугольника)  ⇒

ΔABC = ΔDEF  по двум равным сторонам и углу между ними.

5. ∠BCA — прямой  :  Так как в треугольнике может быть только один прямой угол, а два других будут острыми, то по теореме синусов

AB=DE  ⇒  sin∠BCA = sin∠EFD   ⇒  ∠BCA = ∠EFD = 90°

ΔABC = ΔDEF  по равным катету и гипотенузе.

=====================================

Остальные дополнительные условия недостаточны - видно на рисунках.

1. ∠BAC — острый     -  рис.1

4. ∠BCA — острый    -  рис.1

6. ∠BCA — тупой       -  рис.4

7. AB>BC  —   рис.1, рис.4

Нехай х (см) - основа, тоді х+1 (см) - бічна сторона. знаючи що периметр трикутника 50 см, складаємо рівняння:
х+х+1+х+1=50
3х+2=50
3х=50-2
3х=48
х=48/3
х=16 (см) - основа;
х+1=16+1=17 (см) - бічна сторона
проводимо висоту. утворюється трикутник (бічна сторона, висота і 1/2 основи (за властивістю висоти, проведеної з вершини у рівнобедреному трикутнику, яка є і бісектрисою і медіаною) = 1/2 основи = 8 см.
за теоремою піфагора: висота у квадраті  = бічна сторона у квадраті - 1/2 основи у квадраті.
висота у квадраті =17*17-8*8=289-64=225.
висота= 15 (см).