В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника СОD, если ˂СAD=30°, BD=14 см.

Чтобы доказать, что фигура АВСD - квадрат, необходимо чтобы:

1. Любые два противоположных отрезка (АВ и CD или ВС и AD) были параллельными - доказательство, что АВСD - фигура плоская.

2. Отрезки АВ, ВС, CD и AD были равными - доказательство, что ABCD - ромб или квадрат.

3. Любой из углов между пересекающимися отрезками был равен 90° - доказательство, что АВСD - квадрат.

Итак:

1.Два вектора коллинеарны (параллельны), если отношения их координат равны. В нашем случае:

вектор АВ{Xb-Xa;Yb-Ya} или АВ{-2-(-3);0-(-4);-3-5} или АВ{1;4;-8},

вектор CD{Xd-Xc;Yd-Yc} или CD{1-2;3-7;9-1} или CD{-1;-4;8}.

Отношения соответствующих координат: Xab/Xcd = Yab/Ycd = Zab/Zcd = -1. => вектора АВ и CD параллелны. Следовательно, точки А, В, С и D лежат в одной плоскости (через две параллельные прямые можно провести плоскость и только одну).

2. Найдем длины (модули) отрезков (векторов) по формуле

|a| = √(Xa²+Ya²+Za²):

Вектор АВ = √(1+16+64) = √75 ед.

Вектор CD = √(1+16+64) = √75 ед.

Вектор ВС = √((Xc-Xb)²+(Yc-Yb)²+(Zc-Zb)²) = √((2-(-2))²+(7-0)²+(1-(-3))²) = √(16+49+16)= √81ед.

Вектор AD = √((Xd-Xa)²+(Yd-Ya)²+(Zd-Za)²) = √((1-(-3))²+(3-(-4))²+(9-5)²) = √(16+49+16)= √81ед.

Итак, данная нам фигура НЕ КВАДРАТ, но параллелограмм (по определению).

3. Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Найдем скалярное произведение векторов АВ и ВС:

(АВ*ВС) = Xab*Xbc+Yab*Ybc+Zab*Zbc = 1*4+4*7+(-8)*4 = 32-32= 0.

Векторы АВ и ВС перпендикулярны. => ABCD - прямоугольник.

ответ: АВСD - прямоугольник.

Если есть стороны a b и медиана m1 к третьей стороне c, то можно ДОСТРОИТЬ этот треугольник до параллелограмма, если продолжить медиану на свою длину (за точку пересечения со стороной c), и соединить полученную точку с концами a и b.
В этом параллелограмме диагонали с и 2*m1, а стороны a и b. 
Теперь очевидно, что a + b > 2*m1;
Точно так же показывается b + c > 2*m2; a + c > 2*m3;
Если сложить левые и правые части этих неравенств, получается требуемое неравенство (a + b + c) > (m1 + m2 + m3);