У трикутнику АВС АС=1см, АВ=2 см., О-точка перетину бісектрис. Відрізок, який проходить через точку О і є паралельним до сторони ВС, перетинає сторони АС і АВ у точках К та М відповідно. Знайдіть периметр трикутника АКМ​

КМ – отрезок проходящий через точку пересечения биссектрис – точку О и параллельный стороне ВС по условию

По свойству отрезка проходящего через точку пересечения биссектрис и параллельный одной из сторон:

КМ=КС+МВ.

АС=1 см по условию;

АВ=2 см по условию;

АС+АВ=АК+КС+АМ+МВ

Заменим сумму КС+МВ на КМ (доказано ранее), и подставим. известные числовые значения, получим:

1+2=АК+АМ+КМ

АК+АМ+КМ=3 см

Периметр треугольника это сумма длин всех его сторон.

АК, АМ и КМ – стороны треугольника АКМ. И сумма их длин равна 3 см (найдено ранее).

Получим что периметр треугольника АКМ=3 см.

ответ: 3 см.

Т. к. по свойствам подобных многоугольников: 1) Отношение периметров подобных многоугольников равно  коэффициенту подобия.

2) Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия, то отношение площадей будет равно квадрату отношения периметров, т. е. 
3^2 / 8^2 = х/ х+385  (х — площадь первого многоугольника, а х + 385 — площадь второго многоугольника).

Решая данную пропорцию получим, что: 9(х + 385)=64х;

                                                               9х + 3465 = 64х;

                                                                3465 = 55х;

                                                                     х = 63 см в квадрате — площадь первого многоугольника, тогда площадь второго многоугольника будет равна 63+385 = 448 см в квадрате. ответ: S(1) = 63 см в квадрате,

S(2) =  448 см в квадрате.

Поскольку прямая, проходящая через вершину угла, образует с его сторонами равные углы, значит проекция этой прямой на плоскость угла является его биссектрисой.
Возьмем на прямой точку Р и опустим из нее перпендикуляры РО на плоскость угла и РН на сторону этого угла. По теореме о трех перпендикулярах, отрезок ОН будет перпендикулярен стороне АН. Тогда в треугольнике АОН катеты АН и ОН равны (так как АО - биссектриса). Пусть они равны "а".
Тогда АО= а√2.
В прямоугольном треугольнике АРН угол РАН=60° (дано), тогда <APH=30° (сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°).
Значит АР =2а (так как катет АН лежит против угла 30°).
Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.
То есть нам надо найти градусную меру угла РАО.
Косинус угла РАО=АО/АР или Cos(PAO)=a√2/2a=√2/2.
Следовательно, искомый угол равен arccos(√2/2) или 45°.
ответ: 45°.