Продолжения сторон ab и cd четырехугольника abcd вписанного в окружность пересекаются в точке p. градусная мера меньшей дуги окружности, стягиваемой хордой bc равно 40, а градусная мера меньшей дуги, стягиваемой хордой ad, равно 130. найдите градусную меру угла apd.

Рассмотрим треугольники abd  и acd. проведем высоты вн и ск. sabd = ad·bh/2 sacd = ad·ck/2 так как площади этих треугольников равны, то равны и их высоты: ad·bh/2 = ad·ck/2 ⇒ вн = ск. но вн ║ ск как перпендикуляры к одной прямой. тогда нвск - прямоугольник и, значит, нк ║ вс, а значит, ad ║ bc. рассмотрим треугольники acd и bcd. проведем высоты ае и вт к стороне cd. sacd = cd·ae/2 sbcd = cd·bt/2 так как площади этих треугольников равны, то равны и их высоты: cd·ae/2 = cd·bt/2 ⇒ ae = bt. но ае ║ вт как перпендикуляры к одной прямой. тогда еавт - прямоугольник и, значит, ет ║ ав, а значит, сd ║ ав. ad ║ bc, сd ║ ав, значит abcd - параллелограмм по определению.

проводим радиусы ов и ос перпендикулярные в точки касания, угола=60, четырехугольник асов, уголвос=360-90-90-60=120, треугольник вос равнобедренный, ос=ов=20, проводим высоту он на вс=медиане=биссектрисе,

сн=нв, уголсон=уголвон=1/2уголвос=120/2=60, треугольник сон прямоугольный, сн=ос*sin угласон=20*корень3/2=10*корень3, св=2*сн=2*10*корень3=20*корень3

треугольник авс равнобедренный, ас=ав как касательные проведенные из одной точки, уголавс=уголасв=(180-угола)/2=(180-60)/2=60, треугольник авс равносторонний, все углы=60, ас=ав=вс=20*корень3, периметр=3*20*корень3=60*корень3