на попарно перпендикулярних OX, OY, OZ вибрано точки A, B, C відповідно. Знайдіть периметр утвореного трикутника ABC​

1. 
Расстоянием между параллельными плоскостями является расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости. 

Расстояние от точки  до плоскости  -- это длина перпендикуляра , опущенного из этой точки  на плоскость. ⇒

ВС - перпендикуляр, и треугольник АВС - прямоугольный. Так как все точки одной из параллельных плоскостей находятся на одинаковом расстоянии от другой плоскости, то АА₁=ВС, и прямоугольные треугольники АВА₁ и АВС равны, т.к. у них общая гипотенуза и по равному катету. ⇒ АС=А₁В.

Определение: Проекция точки на плоскость -- это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Множество проекций точек прямой на плоскость образуют проекцию этой прямой.⇒ А₁В и АС- проекции отрезка АВ на каждую из плоскостей. 

Стороны треугольника АВС составляют одну из Пифагоровых троек, где стороны прямоугольного треугольника - целые числа. В этой тройке больший катет равен 12 ( можно проверить по т. Пифагора). 

Проекции отрезка АВ на параллельные плоскости равны.  АС=А₁В=12

-----

2.

Расстояние от точки  до плоскости  -- это длина перпендикуляра , опущенного из этой точки  на плоскость. Следовательно, углы ВВ₁А=СС₁А=90°
В треугольниках АВВ₁ и АСС₁ гипотенузы равны по условию,  равны и их острые углы: угол АВВ₁=90°- 40°=50°, угол АСС₁=90°-50°=40°. Следовательно, эти треугольники равны, и ВВ₁=АС₁. В   треугольнике больше та сторона, что лежит против большего угла.
СС₁>АС₁⇒ СС₁>ВВ₁