Через 3 точки A, B, C, які не лежать на одній прямій, проведено паралельні відрізки AA1, BB1, CC1 однакової довжини до того ж точки A1, B1, C1 лежать по один бік від площини ABC. Довести, що площини ABC і A1B1C1 паралельні

Давай для разминки найдём высоту пирамиды. А для этого сначала диагональ основания, например, АС.
Диагональ основания АС = АВ * корень(2) = 6*корень(3). Обозначим центр основания незатейливой буквой О, и
половина диагонали основания АО определится как 3*корень(2).
Тогда высота пирамиды по тереме Пифагора будет Н=корень( AS^2 - AO^2) = корень(54-18)=6. Круглое число, это хорошо.

Теперь заметим, что прямые АС и SK скрещиваются. Следовательно надо попробовать
провести такую плоскость через одну из прямых, чтобы она была параллельна второй. Для этого отметим
середину ребра АД буквой М. Обрати внимание, что прямая МК будет параллельна АС, ибо
средняя линия треугольника АСД. Проведём плоскость через точки М, К и S. Это как раз
такая плоскость, которая нам подойдёт, потому что она содержит SK, и при этом параллельна АС.

Теперь наша задача заключается в том, чтобы найти расстояние между прямой АС и плоскостью SMK.
Тут ещё полезно будет отметить середину отрезка МК точкой, назовём её Х, и заметим что
длина МК равна половине диагонали основания, то есть МК=3*корень(2), а ОХ будет равна 1/4 диагонали основания,
то есть 3*корень(2)/2. Это видно из рассмотрения плоскости основания.

Теперь перейдём к треугольнику SOX. В нём мы имеем высоту пирамиды SO=6, и катет, лежащий
в плоскости основания ОХ=3*корень(2)/2. Целью является найти высоту h, проведённую к гипотенузе SX,
что и является целью задачи. Для этого сначала найдём длину гипотенузы SX, с
теоремы Пифагора. SX = корень(SO^2+OX^2) = корень(36+4,5) = корень(40,5) (ай, какое плохое число
получилось, может где обсчитался).

Далее найдём площадь треугольника SOX как половину произведения катетов, и получится площадь
равна 1/2 * SO * OX = 1/2 * 6 * 3*корень(2)/2 = 9*корень(2) / 2.
Последнее действие - зная площадь треугольника SOX найти высоту, проведёную к гипотенузе.
h = 2 * площадь / SX = 2 * 9*корень(2) / 2 / корень(40,5) = 9 * корень( 2/ 40,5) = 2. (внезапно число
на калькуляторе получилось точное, без дробей сам не понимаю почему).

Итого, ответ: расстояние между прямыми AC и SK, h=2.

Ну, так получилось. Следи за руками, может где смошенничал, но если так, то не нарочно.