Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб АВСD с острым углом α. Прямая BC1 составляет с плоскостью DC1D1 угол β. Найдите площадь боковой поверхности и объем параллелепипеда, если длина бокового ребра а.

Построим высоту СН к стороне АВ
В прямоугольном треугольнике СВН угол В=45 градусов (по условию), тогда угол ВСН=90-45=45 градусов, следовательно, треугольник равнобедренный, значит, ВН = СН
Известно что ВС=6, пусть АН=ВН=х, тогда по теореме Пифагора ВС^2=ВН^2+СН^2

Уравнение:
   36=х^2 + x^2

   36=2x^2

   x^2=18

   х=корень из 18; 

Треугольник АНС - прямоугольный
Угол А=60 градусов (по условию), тогда угол НСА=90-60=30 градусов
Пусть АС=2х, тогда АН=х (так как катет, лежащий против угла, равного 30 градусов, равен 1/2 гипотенузы)
По теореме Пифагора АС^2=АН^2+НС^2

Уравнение:
     4х^2=18+х^2

     4х^2 - х^2 = 18

     3х^2 = 18

     х^2 = 6

     х = корень из 6; 
Тогда Ас = 2х = 2 корня из 6
ответ: 2 корня из 6

Удачи ;)