Окружность вписана в равнобедренный треугольник и делит в точке касания боковую сторону на отрезки 12 и 1, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Из ΔAMB  по теореме косинусов :
AB² =AM² +(BC/2)² -2AM*(BC/2)cos∠AMB     (1) ;
Из ΔAMC :
AC² =AM² +(BC/2)² -2AM*(BC/2)cos∠AMC ;
но cos∠AMC =cos(180° -∠AMB) = - cos∠AMB поэтому 
AC² =AM² +(BC/2)² +2AM*(BC/2)cos∠AMB   (2)  ;
 суммируем  (1) и  (2) получаем 
AB² +AC² =2AM² + BC²/2 ⇔4AM² =2AB² +2AC² -BC² ;
но  BC² =AB² +AC²- 2AB *AC*cosA  поэтому :
4AM²  =AB² +AC² + 2AB *AC*cosA. 

* * * 
Можно продолжать медиана  MD =AM   и  M соединить с вершинами 
B и C. Получится параллелограмм  ABDC , где верно
 2(AB²+AC²) = AD² +BC² ⇔2(AB²+AC²) = 4AM² +BC².

Для медианы CN :  4CN² =CB² +CA² +2CB*CA*cosC. Если ΔABC равнобедренный CB =AB ⇒∠C =∠A , то  4CN² =4AM²   или  CN =AM .