1.Луч АД - биссектриса угла А. На сторонах угла А отмечены точки В и С, так что угол АДВ равен углу АДС. докажите, что АВ равен АС . 2.На сторонах угла А отмечены точки М и К так, что АМ = АК

1.
ΔMDN подобен ΔADB по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (DM:MA = DN:NB = 2:1, ∠D - общий)
⇒ MN:AB = 2:3, ∠DMN = DAB. Эти углы соответственные при пересечении прямых MN и АВ секущей DA, ⇒ MN║AB.

ΔNDP подобен ΔBDC по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (DN:NB = DP:PC = 2:1, ∠D - общий)
⇒ NP:BC = 2:3, ∠DNP = ∠DBC. Эти углы соответственные при пересечении прямых РN и СВ секущей DВ, ⇒ РN║СB.

ΔDMP подобен ΔDAC по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (DM:MA = DP:PC = 2:1, ∠D - общий)
⇒ MP:AC = 2:3.

MN║AB и РN║СB ⇒ плоскость MNP параллельна плоскости АВС.

MN:AB = NP:BC = MP:AC = 2:3 ⇒ ΔMNP подобен ΔАВС по трем пропорциональным сторонам.
Smnp:Sabc = 4:9
Smnp = 4Sabc/9 = 40/9 см² = 4 целых и 4/9 см²

2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ - параллелепипед.
Точки M и N принадлежат плоскости (АВС) ⇒ проводим прямую MN.
MN - отрезок сечения.
MN∩AD = X,  MN∩DC = Y

Точки К и X принадлежат плоскости ADD₁. Проводим прямую KX.
KX∩AA₁ = L
KL  и LM - отрезки сечения.

Точки К и Y принадлежат плоскости CDD₁. Проводим прямую KY.
KY∩CC₁ = O.
КО и ON - отрезки сечения.

KONML - искомое сечение.